Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

体系は何度も「落とす」ことをしてきた。共形類は計量から密度を落とし（論文150）、指標表は平方写像を落とす（論文152）。本稿は「落とす」に三つの段があることを示し、どの段かを写像の個数で判定する。新しい数学定理は主張しない。

第一に、随伴とは数え上げである。自由群からの準同型は生成元の像の組にほかならないから、$|\mathrm{Hom}_{\mathrm{Grp}}(F(S),G)|=|G|^{|S|}=|\mathrm{Hom}_{\mathrm{Set}}(S,U(G))|$ である（$G$ が $\mathbb{Z}/6$、$S_3$、$D_4$、$\mathbb{Z}/2\times\mathbb{Z}/2$ の場合に確認）（第2節）。

第二に、忘却には三段ある。性質を忘れる（充満忠実）・構造を忘れる（忠実だが充満でない）・ものを忘れる（忠実でない）。$\mathbb{Z}/3$ から $\mathbb{Z}/3$ への準同型は $3$ 本、写像は $27$ 本、忠実だが充満でない。そして $\mathrm{Ab}\to\mathrm{Grp}$ が届かない位数 $8$ の群は、ちょうど $D_4$ と $Q_8$ である（論文152 の二つ）（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。右随伴が無いことは、余積を数えれば見える。$\mathbb{Z}/3$ の $\mathrm{Ab}$ における余積は$9$ 元、下にある集合の直和は$6$ 元。$\mathbb{Z}/2$ の $\mathrm{Grp}$ における余積は無限二面体群で、直和は$4$ 元である。余積を保たないから、右随伴は存在しない（第4節）。

第四に、両方の随伴をもつ忘却関手もある。$\mathrm{Top}\to\mathrm{Set}$ は離散を左随伴、密着を右随伴にもつ（三点集合とシェルピンスキー空間で個数が一致することを確認）（第5節）。位相を忘れることは、群法則を忘れることより穏やかである。

第五に、自由に付け足したものは、忘れたものと釣り合わない。$\mathbb{Z}/2$ の下にある集合から自由群を作ると無限になる（長さ $3$ 以下の既約語だけで $53$ 個）。忘れて自由に建て直しても元には戻らない（第6節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理は主張しない。随伴関手（カン）、自由構成、性質・構造・ものの区別、位数 $8$ の群の分類はいずれも標準的である。本稿が加えるのは、三段のどれであるかを写像の個数で判定してみせたこと、右随伴の不在を余積の大きさという一つの数で示したこと、論文150 の「光は密度を忘れる」がどの段かを書いたことだけである。

1. 記法と位置づけ

忘却関手を $U$、自由関手を $F$ と書き、$F\dashv U$ で随伴を表す。関手が充満忠実なら性質を、忠実だが充満でないなら構造を、忠実でないならものを忘れているという。

位置づけ：論文151 は被覆の良さ、論文152 は平方写像を覚えているか否かを分離子とした。本稿の分離子は写像の個数そのものである。

2. 随伴とは数え上げである

検算 2.1：$S$ を二元集合とすると

（証明終）

観察 2.2　自由群からの準同型は、生成元の像の組にほかならない。随伴とは、この一致がすべての $G$ について同時に、かつ自然に成り立つという主張である。

3. 忘却には三段ある

検算 3.1（構造を忘れる）：$\mathrm{Grp}\to\mathrm{Set}$ について

（証明終） 相異なる準同型は相異なる写像に移る（忠実）が、写像のほとんどは準同型でない（充満でない）。

検算 3.2（ものを忘れる）：集合の対から第一成分を取る関手について

（証明終） 第二成分に二本以上の写像があると射が衝突する。忠実でないことが「ものを忘れた」の意味である。

検算 3.3（性質を忘れる、そして失われた対象を数える）：$\mathrm{Ab}\to\mathrm{Grp}$ は充満忠実である（アーベル群のあいだの群準同型は、そのままアーベル群の準同型である）。失われるのは射ではなくどの対象が現れるかである。位数 $8$ の標準的な五つを元の位数の重複集合で分けると

五つの重複集合はどの二つも相異なる（本稿で確認）。（証明終）

観察 3.4　$\mathrm{Ab}\to\mathrm{Grp}$ が届かない位数 $8$ の群は、ちょうど $D_4$ と $Q_8$ である。論文152 が「指標表では区別できなかった」と書いた、あの二つである。一つの関手が届かない場所と、一つの不変量が見られない差が、同じ二つを指している。

観察 3.5 （判定規則）　

4. 右随伴が無いことは、余積を数えれば見える

事実 4.1：右随伴をもつ関手は余極限を保つ。したがって余積を保たなければ、右随伴は存在しない。

検算 4.2

（証明終） $\mathbb{Z}/2$ の $\mathrm{Ab}$ での一致は偶然であり、$\mathbb{Z}/3$ で $9$ と $6$ に割れる。$\mathrm{Grp}$ の場合は無限二面体群であり、$a(x)=-x$、$b(x)=1-x$ を整数の等長変換として実現すると $a,b$ はともに位数 $2$、$ab$ は $3$ を $2,1,0,-1,-2,-3,-4,-5$ と送って位数が無限である（本稿で確認）。

観察 4.3　$\mathrm{Ab}\to\mathrm{Set}$ も $\mathrm{Grp}\to\mathrm{Set}$ も右随伴をもたない。左随伴（自由構成）はもつ。随伴は左右で対称ではない。

5. 両方の随伴をもつ忘却関手

検算 5.1：三点集合の離散位相は開集合を $8$ 個、密着位相は $2$ 個もつ。シェルピンスキー空間を相手にすると

（証明終）

観察 5.2　離散は左随伴、密着は右随伴である。位相を忘れることは、群法則を忘れることより穏やかである。同じ「忘却関手」という語が、随伴の在り方まで含めて別のものを指している。

6. 自由に付け足したものは、忘れたものと釣り合わない

検算 6.1：$\mathbb{Z}/2$ の下にある集合は二元だから $F(U(\mathbb{Z}/2))$ は二文字の自由群であり、長さ $0,1,2,3$ の既約語はそれぞれ $1,4,12,36$ 個、合計 $53$ 個ある（本稿で数え上げ）。（証明終）

観察 6.2　二文字の自由群は無限であり、$\mathbb{Z}/2$ は二元である。余単位 $F(U(G))\to G$ は全射だが核は無限である。忘れて自由に建て直しても、元には戻らない。随伴は同値ではなく、その隔たりが余単位である。

7. 体系への適用

観察 7.1　

観察 7.2　四次元で計量は $10$ 成分、共形類は $9$ 成分、落ちるのは $1$ である。論文150 はその $1$ が密度であると突き止めた。本稿の語彙でいえば、「光は密度を忘れる」は「構造を忘れる」段であり、$10-9=1$ が忘れたものの大きさである。

観察 7.3　「落とす」「無視する」「近似する」を同じ語で呼んではならない。どれも関手だが、忘れているのが性質か構造かものかで、復元できるかどうかが変わる（論文17）。

8. 結論

1. 随伴とは数え上げである（検算2.1）：$|G|^{|S|}$ が両辺に立つ。
2. 忘却には三段ある（観察3.5）：性質・構造・もの、判定は充満性と忠実性である。
3. $\mathrm{Ab}\to\mathrm{Grp}$ が届かない位数 $8$ の群は $D_4$ と $Q_8$ である（検算3.3）、論文152 の二つ。
4. 右随伴の不在は余積の大きさで見える（検算4.2）：$9$ 対 $6$、そして無限対 $4$。
5. 両方の随伴をもつ忘却関手もある（検算5.1）：離散と密着。
6. 忘れて建て直しても戻らない（検算6.1）：二文字の自由群は無限である。

結び：何を忘れたかは、対象を睨んでも分からない。写像を数えれば分かる。そして忘れたものが性質なら対象を選び直せばよく、構造なら外から持ち込むしかなく、ものなら区別そのものが消えている。同じ「落とす」という語が、取り返しのつく話と、つかない話を隠している。

参考文献

1. Kan, D. M. (1958). Adjoint functors. Transactions of the American Mathematical Society, 87.
2. Grothendieck, A. (1957). Sur quelques points d’algèbre homologique. Tôhoku Mathematical Journal, 9.
3. Mac Lane, S. (1971). Categories for the Working Mathematician. Springer.
4. Freyd, P. (1964). Abelian Categories. Harper & Row.
5. Baez, J. C. & Dolan, J. (1998). Categorification. In: Higher Category Theory, Contemporary Mathematics 230, American Mathematical Society.
6. Baez, J. C. & Shulman, M. (2010). Lectures on n-categories and cohomology. In: Towards Higher Categories, Springer. arXiv:math/0608420.
7. 山岸勇輝 (2026). 別根と言うのは半分である。住所を書け [論文17] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600813
8. 山岸勇輝 (2026). 王道の点呼 [論文100]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758864
9. 山岸勇輝 (2026). $\varepsilon^2=0$ は環の定義であり、$(dW)^2=dt$ は道の事実である [論文148]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22083237
10. 山岸勇輝 (2026). 分母を決めるのは行列式ではなく、最大不変因子である [論文149]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22083590
11. 山岸勇輝 (2026). 光が測れないのは、密度である [論文150]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22083989
12. 山岸勇輝 (2026). 二枚の被覆は、円周について間違った答を返す [論文151]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22084096
13. 山岸勇輝 (2026). 同じ指標表を持ちながら、同型でない [論文152]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22084202

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「何を忘れたかは、写像を数えれば分かる」［論文153］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22084355

@misc{yamagishi2026yoi153,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What Was Forgotten Can Be Read Off by Counting Maps},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/153},
  doi = {10.5281/zenodo.22084355},
  note = {Preprint, edition 1}
}