Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

星の色から表面温度を読むとき、星と私たちの間の塵は青い側の光をより強く弱め、色を赤くする。本稿は、論文943 の黒体の $440$ nm と $550$ nm の明るさの比に、波長に反比例する形の減光（置いた形）を掛け、見かけの比から読む温度が本当の温度とどれだけ違うかを、一次の見積もりに頼らずに解く。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、減光は比を温度によらない割合で縮める。$550$ nm での減光が $0.1$・$0.3$・$1.0$ 等のとき、二つの波長の減光の差（色の超過）はその $0.250000$ 倍で、比に掛かる割合は $0.977237$・$0.933254$・$\mathbf{0.794328}$ だった（第2節）。

第二に、熱い星ほど温度は大きく低く出る。減光 $1.0$ 等で、見かけの温度は本当の温度の $4000$ K で $0.876233$ 倍、$5772$ K で $0.828550$ 倍、$40000$ K で $\mathbf{0.339184}$ 倍（$13567.372$ K）だった（第2節）。

第三に、その温度の効きによる一次の見積もりは、熱い星で大きく外れる。論文943 の効きで一次に見積もると、減光 $1.0$ 等・$40000$ K で $0.103318$ 倍と出て、実際の $0.339184$ 倍より低い。十五通りすべてで一次は低く出た（第3節）。

第四に、見かけの温度には上限がある。本当の温度をどれだけ上げても、見かけの比は無限に熱い極限の比 $2.441406$ に減光の割合を掛けた値を超えない。見かけの温度の上限は減光 $0.1$・$0.3$・$1.0$ 等で $146755.189$・$51795.827$・$\mathbf{17921.911}$ K で、減光 $1.0$ 等なら本当の $1000000$ K でも上限の $0.988172$ だった（第4節）。

第五に、分離子は、ずれを比の上で数えるか、温度の上で数えるかである。比の上では、減光 $1.0$ 等のずれはどの温度でも同じ $0.794328$ 倍である。温度の上では、同じずれが $0.876233$ 倍から $0.339184$ 倍まで広がり、上限まで生まれる（第5節）。

キーワード：星間減光、赤化、色の超過、色温度、黒体放射、プランクの法則。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。星間の塵が星の光を弱め、青い側をより強く弱めて色を赤くすること（星間減光と赤化）、二つの波長の減光の差を色の超過と呼ぶこと、色から読む温度が減光で低く出ることは、いずれも既知である。減光の形を置く。波長ごとの減光を、$550$ nm での減光に $550$ nm と波長の比を掛けた形と置いた。実際の減光曲線の形、その形を決める値、フィルターの幅は扱わない。理想の黒体と二つの波長だけを扱う。論文943 と同じく $440$ nm と $550$ nm の二点での明るさの比で、色指数の値には入らない。減光の量の求め方を扱わない。星までの距離、塵の量の見積もり、減光を補正する手順、個々の星の温度は扱わない。既刊との関係：論文943 の射程注記は、観測を扱わず、大気と星間の塵による減光、星の光が黒体からずれること、測る器械のばらつきは扱わないと書いた。本稿はそのうち星間の塵による減光の席に座る（先客なし）。論文943 は、二つの色の明るさの比が熱い星ほど一定の値に近づき、比の温度への効きが下がって、比が $1$ パーセント狂うと温度は一次の見積もりで効きの逆数のパーセントだけ狂うことを示した。ここでは、減光のように比が大きく縮むときの温度の下がりを一次に頼らずに解き、見かけの温度に上限があることを数える。加えたのは、減光が比を温度によらない割合で縮めることを示したこと、五つの温度と三つの減光で見かけの温度を解いたこと、一次の見積もりとの違いを並べたこと、見かけの温度の上限を出したこと、分離子を「比の上で数えるか、温度の上で数えるか」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：黒体の $440$ nm と $550$ nm の明るさ（波長あたり）の比を論文943 と同じく

$$R(T)=\left(\frac{550}{440}\right)^5\frac{e^{c_2/(\lambda_{550}T)}-1}{e^{c_2/(\lambda_{440}T)}-1},\qquad c_2=1.43877688\times10^{-2}\ \text{m K}$$

とする（$5772$ K で $0.975636$、$40000$ K で $2.227526$ を再現した）。波長 $\lambda$ での減光（等）を $A_\lambda=A_{550} (550 \text{nm}/\lambda)$ と置く。二つの波長の減光の差（色の超過）と、比に掛かる割合は

$$E=A_{440}-A_{550}=A_{550}\left(\frac{550}{440}-1\right),\qquad R_{\text{見かけ}}=R(T)\times10^{-0.4E}$$

である。見かけの比 $R_{\text{見かけ}}$ を $R(T’)=R_{\text{見かけ}}$ で解いた $T’$ を見かけの温度とする（比は温度とともに増えるので二分法で解き、$12345$ K の比から $12345.000000$ K を戻した）。論文943 の効き $S=d\ln R/d\ln T$ を使うと、一次の見積もりは

$$\frac{T’}{T}\approx\exp\!\left(\frac{-0.4E\ln10}{S(T)}\right)$$

である。

問い：同じ減光で、見かけの温度は本当の温度によってどれだけ違い、上限はあるか。

2. 比の縮みと見かけの温度

計算 2.1：色の超過は $A_{550}$ の $0.250000$ 倍で、$A_{550}=0.1$・$0.3$・$1.0$ 等のとき $E=0.025$・$0.075$・$0.250$ 等、比に掛かる割合は $0.977237$・$0.933254$・$0.794328$ で、温度によらない。

計算 2.2：見かけの温度（K）と、本当の温度に対する割合。

観察 2.3　同じ減光でも、熱い星ほど見かけの温度の割合は小さい。三つの減光のどれでも、本当の温度が $4000$ K から $40000$ K へ上がるほど割合は下がった。減光 $1.0$ 等で、$4000$ K の星は $0.876233$ 倍に、$40000$ K の星は $0.339184$ 倍に読まれた。比に掛かる割合は五つの温度で同じ $0.794328$ である。

3. 一次の見積もりとの比べ

計算 3.1：論文943 の効き $S$ は $4000$・$5772$・$10000$・$20000$・$40000$ K で $1.627815$・$1.103448$・$0.576885$・$0.238265$・$0.101438$（$20000$ K の式 $0.238265412$ は温度を前後に動かした差分 $0.238265631$ と $10^{-6}$ 以内）。一次の見積もりの割合と、解いた割合。

観察 3.2　一次の見積もりは、熱い星と大きな減光で大きく外れる。十五通りすべてで一次の見積もりは解いた割合より低かった。$4000$ K・$0.1$ 等では $0.985954$ 対 $0.986055$ とほぼ同じだが、$40000$ K・$1.0$ 等では $0.103318$ 対 $0.339184$ になった。

4. 見かけの温度の上限

計算 4.1：無限に熱い極限の比は $(550/440)^4=2.441406$ で、$10^9$ K の比は $2.441398$ だった。比は温度とともに増えてこの値に近づくので、見かけの比は $2.441406$ に減光の割合を掛けた値を超えない。その値から解いた見かけの温度の上限と、本当の温度 $40000$・$100000$・$1000000$ K の見かけの温度の上限に対する割合。

観察 4.2　減光を受けた星の色の温度には上限がある。三つの減光とも、本当の温度が上がるほど見かけの温度は上限に近づき、上限は減光が大きいほど低かった。減光 $1.0$ 等なら、どれほど熱い星も $17921.911$ K より熱くは読まれず、本当の $40000$ K でもう上限の $0.757027$ に来ている。

5. 分離子

観察 5.1　分離子は、ずれを比の上で数えるか、温度の上で数えるかである。比の上では、減光のずれは温度によらず同じ割合で、減光 $1.0$ 等なら五つの温度とも $0.794328$ 倍である。温度の上では、同じずれが $4000$ K の $0.876233$ 倍から $40000$ K の $0.339184$ 倍まで広がり、比の極限が温度の上限 $17921.911$ K になった。

観察 5.2　言わないこと。実際の減光曲線、フィルターと色指数、減光の量の求め方と補正、個々の星の温度は扱わない。示したのは、置いた形の減光と理想の黒体の二つの波長で、見かけの温度が熱い星ほど低く出て、上限を超えないことである。

6. 点呼と結び

1. 色の超過と比に掛かる割合（第1節）：温度によらない。
2. 比に掛かる割合 $\mathbf{0.794328}$（計算 2.1）：減光 $1.0$ 等。
3. $40000$ K で $\mathbf{0.339184}$ 倍（計算 2.2）：熱い星ほど低く出る。
4. 一次の見積もり $\mathbf{0.103318}$（計算 3.1）：熱い星で外れる。
5. 上限 $\mathbf{17921.911}$ K（計算 4.1）：どれほど熱くても超えない。
6. 比の上か、温度の上か（観察 5.1）：分離子・論文943 の射程注記。

結び：減光を受けた星の色の温度は熱い星ほど低く出て、どれほど熱くても上限を超えない。$550$ nm で $1.0$ 等の減光は、$440$ nm と $550$ nm の明るさの比をどの温度でも $0.794328$ 倍に縮めた。見かけの温度は $4000$ K の星で $0.876233$ 倍、$40000$ K の星で $0.339184$ 倍になり、一次の見積もり $0.103318$ 倍とは大きく違った。見かけの温度の上限は減光 $0.1$・$0.3$・$1.0$ 等で $146755.189$・$51795.827$・$17921.911$ K だった。分離子は、ずれを比の上で数えるか、温度の上で数えるかである。既刊との位置：論文943 が理想の黒体で数えた比と効きに、論文943 が脇に置いた星間の減光を掛け、一次に頼らずに解いた。正直に言えば、実際の減光曲線は波長に反比例するとは限らない。置いた形の減光で、色の温度がどれだけ低く出て、どこで頭打ちになるか、そこまでである。

参考文献

1. Cardelli, J. A., Clayton, G. C., & Mathis, J. S. (1989). The relationship between infrared, optical, and ultraviolet extinction. The Astrophysical Journal.
2. Planck, M. (1901). Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum. Annalen der Physik.
3. Rybicki, G. B., & Lightman, A. P. (1979). Radiative Processes in Astrophysics. Wiley.
4. Trumpler, R. J. (1930). Absorption of light in the galactic system. Publications of the Astronomical Society of the Pacific.
5. 山岸勇輝 (2026). 『二つの色の明るさの比は熱い星ほど一定の値に近づき、温度を読む力が落ちる』[論文943]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/943

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「減光を受けた星の色の温度は熱い星ほど低く出て、どれほど熱くても上限を超えない」［論文959］. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/959

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