Mathematik und Physik haben eine Reihe berühmter, felsenfester Sätze, etwa das Noether-Theorem oder den Satz von Gauß-Bonnet. Sie alle sagen Starkes, aber jeder gilt nur innerhalb seiner Voraussetzungen. Schaut man, was ohne eine Voraussetzung zerbricht, wird oft erst klar, was der Satz eigentlich sagt.
In meinen Aufsätzen schreibe ich immer auf, was man ändern muss, damit aus einer Sache eine andere wird (ich nenne es den Separator). Deshalb habe ich 38 berühmte Sätze ausgewählt, in sieben Gruppen geteilt und für jeden aufgeschrieben, was er sagt, was er voraussetzt und was ohne die Voraussetzungen zerbricht. Außerdem habe ich gezählt, wie viele meiner 1.097 Aufsätze den Satz im Haupttext nennen.
Die Sätze, die meine Aufsätze am häufigsten benutzen
Am häufigsten sind der Eulersche Polyedersatz (die Euler-Charakteristik) und der Satz von Gauß-Bonnet mit je 32 Aufsätzen. Danach kommt mein eigener Eindeutigkeitssatz mit 21 (65 Aufsätze zitieren diesen Aufsatz 01 in ihren Literaturangaben). 166 Aufsätze, 15,1 % aller, nennen mindestens einen der 38 Sätze.
Gezählt habe ich Aufsätze, deren Haupttext (vor den Literaturangaben) den Namen des Satzes nennt, nicht, wie tief sie ihn benutzen. Erwähnungen eines anderen Satzes mit gleichem Namen (etwa die Hurwitz-Schranke für Approximationen, der Satz von Liouville der Funktionentheorie oder das Bertrandsche Paradoxon) habe ich gelesen und herausgenommen. In den Haupttexten kommen insgesamt 215 verschiedene Namen der Form „Satz, Gesetz, Ungleichung oder Vermutung von jemandem“ vor.
1. Identitäten und Zählen: es muss so herauskommen
Sätze, nach denen beim Zählen von Zahlen oder Formen das Ergebnis erzwungen ist.
| Satz (wer, wann) | Inhalt | Voraussetzungen | Ohne die Voraussetzungen | Meine Aufsätze |
|---|---|---|---|---|
| Satz des Pythagoras (Antike; bewiesen in Euklids Elementen) | Im rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c² | eine flache Ebene (euklidische Geometrie) | Auf einer Kugel wird die Hypotenuse kürzer: c² ist kleiner als a² + b² | 2 (904 · 1016) |
| Eulersche Identität (Euler, 1748) | eiπ + 1 = 0 | die Exponentialfunktion auf komplexe Zahlen erweitern (eiθ = cos θ + i sin θ) | Mit reellen Zahlen allein wird ex nie negativ | 0 |
| Fundamentalsatz der Algebra (Gauß, 1799) | Eine Gleichung n-ten Grades hat in den komplexen Zahlen n Lösungen (mehrfache mitgezählt) | Lösungen in den komplexen Zahlen suchen | Mit reellen Zahlen allein hat x² + 1 = 0 keine Lösung | 1 (520) |
| Großer Fermatscher Satz (Wiles, 1995) | Für n ab 3 gibt es keine positiven ganzen Zahlen mit xⁿ + yⁿ = zⁿ | positive ganze Zahlen, n mindestens 3 | Für n = 2 gibt es unendlich viele, etwa 3² + 4² = 5² | 2 (642 · 1016) |
| Eindeutigkeitssatz (meine Aufsätze 01 und 08) | Fällt eine Dichte in d Dimensionen mit der n-ten Potenz des Abstands, wiegt jede Schale nur für n = d − 1 gleich viel (2 in drei Dimensionen, 3 in vier) | Kugelsymmetrie | Ist die Form keine Kugel, hängt das Gewicht einer Schale von der Richtung ab | 21 (1 · 8 · 1097) |
Die letzte Zeile ist ein Satz aus meinen eigenen Aufsätzen, ein Preprint ohne Peer-Review. Ich habe ihn hier eingereiht, um ihn mit demselben Maßstab zu messen wie die anderen (die Voraussetzungen und was ohne sie zerbricht).
2. Form: unverändert beim Verbiegen
Sätze über Eigenschaften, die sich nicht ändern, wenn man eine Form wie Gummi verbiegt oder dehnt (Topologie).
| Satz (wer, wann) | Inhalt | Voraussetzungen | Ohne die Voraussetzungen | Meine Aufsätze |
|---|---|---|---|---|
| Eulerscher Polyedersatz (Euler, 1750) | Für ein Polyeder gilt Ecken − Kanten + Flächen = 2 (diese Zahl heißt Euler-Charakteristik) | eine Form ohne Löcher (wie eine Kugel) | Bei einem ringförmigen Polyeder wird sie 0 | 32 (128 · 224 · 1014) |
| Satz von Gauß-Bonnet (Gauß, 1827; Bonnet, 1848) | Summiert man die Krümmung (Gauß-Krümmung) einer geschlossenen Fläche, ergibt sich 2π × Euler-Charakteristik (4π für eine Kugel) | eine glatte geschlossene Fläche ohne Rand | Mit Rand muss die Krümmung des Randes hinzukommen | 32 (91 · 316 · 1050) |
| Satz von Poincaré-Hopf (Poincaré, 1880er; Hopf, 1926) | Auf einer geschlossenen Fläche summieren sich die Indizes der Haltepunkte einer Strömung (eines Vektorfelds) zur Euler-Charakteristik | geschlossene Fläche ohne Rand, vereinzelte Haltepunkte | Mit Rand braucht man eine Bedingung an die Richtung der Strömung am Rand | 11 (67 · 128 · 316) |
| Satz vom Igel (Poincaré, 1885; Brouwer, 1912) | Man kann die Haare auf einer Kugel nicht glatt kämmen, ohne irgendwo einen Wirbel zu lassen | eine Sphäre gerader Dimension (etwa die gewöhnliche Kugeloberfläche) | Auf einem Torus, einem Kreis oder der dreidimensionalen Sphäre geht es | 4 (67 · 115 · 128) |
| Fixpunktsatz (Brouwer, 1911, und andere) | Eine stetige Abbildung einer Kreisscheibe in sich selbst lässt immer einen Punkt an seinem Platz | stetig, eine geschlossene Form ohne Löcher | Bei einem Ring (einer Form mit Loch) bewegt schon eine Drehung jeden Punkt | 5 (161 · 622 · 1073) |
| Poincaré-Vermutung (gestellt 1904; gelöst von Perelman, 2002–2003) | Eine geschlossene dreidimensionale Form, in der sich jede Schleife zusammenziehen lässt, hat dieselbe Form wie die dreidimensionale Sphäre | geschlossen, jede Schleife lässt sich auf einen Punkt zusammenziehen | Lässt sich eine Schleife nicht zusammenziehen (wie beim dreidimensionalen Torus), ist es eine andere Form | 11 (7 · 8 · 1003) |
| Vier-Farben-Satz (Appel und Haken, 1976) | Vier Farben genügen, um eine Landkarte in der Ebene so zu färben, dass Nachbarn verschieden sind | die Ebene (oder die Kugel), jedes Land zusammenhängend | Auf einem Torus brauchen manche Karten sieben Farben | 2 (303 · 538) |
| Jordanscher Kurvensatz (Jordan, 1887) | Eine geschlossene Kurve in der Ebene, die sich nicht selbst schneidet, teilt die Ebene in ein Innen und ein Außen | die Ebene | Auf einem Torus gibt es Schleifen, die ihn nicht in zwei Teile teilen | 0 |
3. Krümmung und Integrale: von innen messen, Inneres und Rand verbinden
Sätze, die die Krümmung einer Fläche oder eines Raums von innen messen, und Sätze, die das Geschehen im Inneren mit dem am Rand verbinden.
| Satz (wer, wann) | Inhalt | Voraussetzungen | Ohne die Voraussetzungen | Meine Aufsätze |
|---|---|---|---|---|
| Theorema egregium (Gauß, 1827) | Die Gauß-Krümmung einer Fläche ist allein durch Längenmessungen in der Fläche bestimmt (ohne Blick von außen) | Gauß-Krümmung (das Produkt der Krümmungen in zwei Richtungen) | Die mittlere Krümmung lässt sich nicht ohne Blick von außen bestimmen; rollt man ein Blatt Papier, bleibt seine Gauß-Krümmung 0 | 5 (91 · 158 · 409) |
| Divergenzsatz und Satz von Stokes (Gauß, 1813; Ostrogradski, 1826; Kelvin und Stokes, 1850–1854) | Was innen insgesamt entspringt, ist gleich dem, was insgesamt durch den Rand austritt | ein glattes Feld und ein Gebiet mit Rand | Gibt es innen einen singulären Punkt (etwa eine Punktladung), muss er gesondert gezählt werden | 8 (35 · 92 · 912) |
| Gaußsches Gesetz (Lagrange, 1773; Gauß, 1835) | Das gesamte elektrische Feld durch eine geschlossene Fläche ist proportional zur Ladung im Inneren | eine Kraft, die mit dem Quadrat des Abstands abfällt (in drei Dimensionen) | Ohne das Quadrat ändert sich die Summe mit der Größe der Fläche | 18 (1 · 2 · 1082) |
| Isoperimetrische Ungleichung (seit der Antike bekannt; strenge Beweise im 19. Jahrhundert) | Bei gleichem Umfang umschließt der Kreis die größte Fläche | eine flache Ebene | Auf einer gekrümmten Fläche nimmt die Schranke eine andere Form an | 3 (205 · 326 · 1007) |
| Atiyah-Singer-Indexsatz (Atiyah und Singer, 1963) | Die Differenz der Lösungszahlen, gezählt mit einer Differentialgleichung, ist allein durch die Form (Topologie) bestimmt | ein elliptischer Differentialoperator auf einer kompakten Mannigfaltigkeit | Mit Rand braucht man eine Korrektur vom Rand (die η-Invariante) | 13 (70 · 128 · 1058) |
Das „nur beim Quadrat“ des Gaußschen Gesetzes ist dieselbe Stelle wie mein Eindeutigkeitssatz (n = 2 in drei Dimensionen), von der anderen Seite gesehen. Der Satz von Gauß-Bonnet ist im Atiyah-Singer-Indexsatz als Spezialfall enthalten.
4. Symmetrie und Erhaltung: wenn sich nichts ändert, bleibt etwas erhalten
Sätze, nach denen etwas erhalten bleibt, wenn eine Änderung die Gesetze gleich lässt (eine Symmetrie).
| Satz (wer, wann) | Inhalt | Voraussetzungen | Ohne die Voraussetzungen | Meine Aufsätze |
|---|---|---|---|---|
| Noether-Theorem (Noether, 1918) | Zu jeder stetigen Symmetrie, die die Wirkung nicht ändert, gehört eine Erhaltungsgröße | ein System, dessen Bewegung aus einer Wirkung (Lagrange-Funktion) folgt, eine stetige Symmetrie | Mit Reibung bleibt nichts erhalten; bei Symmetrien, die von Ort zu Ort verschieden sind (Eichsymmetrien), erhält man Identitäten statt Erhaltungssätze (zweites Theorem) | 17 (80 · 107 · 310) |
| Satz von Liouville (Liouville, 1838) | Das Volumen im Raum aus Orten und Impulsen (Phasenraum) ändert sich mit der Zeit nicht | ein System ohne Reibung (ein Hamilton-System) | Mit Reibung schrumpft das Volumen | 17 (77 · 78 · 135) |
| Goldstone-Theorem (Nambu, 1960; Goldstone, 1961; allgemeiner Beweis 1962) | Bricht eine stetige Symmetrie spontan, erscheint eine masselose Welle (ein Teilchen) | eine überall gleiche (globale) Symmetrie | Mit einem Eichfeld wird das Teilchen aufgesogen und schwer (Higgs-Mechanismus) | 2 (175 · 286) |
| Spin-Statistik-Theorem (Fierz, 1939; Pauli, 1940) | Teilchen mit halbzahligem Spin können keinen Zustand teilen (Fermionen), Teilchen mit ganzzahligem Spin können sich sammeln (Bosonen) | relativistische Quantenfeldtheorie, dreidimensionaler Raum | In einer zweidimensionalen Welt sind Zwischenformen (Anyonen) möglich | 2 (112 · 1087) |
| CPT-Theorem (Schwinger, 1951; Lüders, 1954; Pauli, 1955) | Vertauscht man Teilchen und Antiteilchen, spiegelt den Raum und lässt die Zeit rückwärts laufen, alles zusammen, bleiben die Gesetze gleich | lokale, relativistische Quantenfeldtheorie | Für nicht relativistische Theorien gibt es diese Garantie nicht | 0 |
Im Noether-Theorem gehört zu dem, was sich ändern darf, ohne dass sich die Gesetze ändern, eine Erhaltungsgröße:
| Was sich ändern darf, ohne dass sich die Gesetze ändern (Symmetrie) | Erhaltungsgröße |
|---|---|
| die Zeit verschieben | Energie |
| den Ort verschieben | Impuls |
| die Richtung drehen | Drehimpuls |
| die Phase einer Quantenwelle drehen | elektrische Ladung |
5. Eindeutigkeit: unter diesen Bedingungen nur dies
Sätze, nach denen die Antwort auf eine (oder wenige) festliegt, sobald die Bedingungen gesetzt sind.
| Satz (wer, wann) | Inhalt | Voraussetzungen | Ohne die Voraussetzungen | Meine Aufsätze |
|---|---|---|---|---|
| Satz von Stone-von Neumann (Stone, 1930; von Neumann, 1931) | Es gibt im Wesentlichen nur eine Darstellung der quantenmechanischen Vertauschungsrelation von Ort und Impuls | endlich viele Freiheitsgrade, irreduzibel, stark stetig (Weyl-Form) | Bei unendlich vielen Freiheitsgraden (Quantenfeldtheorie) gibt es viele Darstellungen, die sich nicht ineinander überführen lassen | 1 (127) |
| Satz von Hurwitz (Hurwitz, 1898) | Zahlsysteme, in denen man unter Erhalt der Länge multiplizieren und dividieren kann, gibt es nur in den Dimensionen 1, 2, 4 und 8 (reelle Zahlen, komplexe Zahlen, Quaternionen, Oktonionen) | Division möglich, Längen multiplizieren sich | In 16 Dimensionen (Sedenionen) können zwei Zahlen ungleich 0 das Produkt 0 haben | 3 (114 · 115 · 231) |
| Satz von Bertrand (Bertrand, 1873) | Die einzigen Zentralkräfte, bei denen sich jede Bahn schließt, sind die Anziehung mit dem Abstandsquadrat und die Federkraft | eine Kraft zum Zentrum, alle gebundenen Bahnen | Bei anderen Kräften dreht sich die Bahn langsam weiter (Präzession) | 11 (15 · 28 · 1072) |
| Fünf platonische Körper (Euklids Elemente) | In drei Dimensionen gibt es nur fünf regelmäßige Polyeder: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder | drei Dimensionen, ohne Dellen (konvex) | In vier Dimensionen gibt es sechs Arten, ab fünf Dimensionen drei | 3 (114 · 209 · 224) |
| Satz von Gleason (Gleason, 1957) | Quantenwahrscheinlichkeiten lassen sich nur als Quadrat der Größe der Welle zuordnen (Bornsche Regel) | drei Dimensionen oder mehr, eine Zuordnung unabhängig davon, wie Messungen gruppiert werden | In zwei Dimensionen (ein Qubit) sind andere Zuordnungen möglich | 11 (11 · 71 · 157) |
6. Muster in Zahlen und Zufall: was sich zeigt, wenn man viele sammelt
Regeln, die sich zeigen, wenn man viele Primzahlen oder viele zufällige Schwankungen sammelt.
| Satz (wer, wann) | Inhalt | Voraussetzungen | Ohne die Voraussetzungen | Meine Aufsätze |
|---|---|---|---|---|
| Primzahlsatz (Hadamard und de la Vallée Poussin, 1896) | Die Anzahl der Primzahlen bis x ist ungefähr x ÷ ln x | großes x (das Verhältnis nähert sich 1) | Für kleine x ist die Abweichung deutlich | 3 (6 · 769 · 1018) |
| Dirichletscher Satz über arithmetische Progressionen (Dirichlet, 1837) | Haben a und d keinen gemeinsamen Teiler, enthält a, a + d, a + 2d, … unendlich viele Primzahlen | a und d ohne gemeinsamen Teiler | Mit gemeinsamem Teiler erscheint höchstens eine Primzahl | 0 |
| Satz von Green-Tao (Green und Tao, 2004 vorgestellt, 2008 veröffentlicht) | Die Primzahlen enthalten beliebig lange arithmetische Progressionen | endliche Länge (beliebig lang) | Keine arithmetische Progression aus Primzahlen geht ewig weiter | 0 |
| Zentraler Grenzwertsatz (von de Moivre, 1733, über Laplace, 1812, bis Ljapunow, 1901) | Addiert man viele unabhängige Schwankungen, nähert sich die Verteilung der Summe der Normalverteilung (der Glockenkurve) | unabhängig, endliche Streuung | Bei Schwankungen mit unendlicher Streuung (etwa der Cauchy-Verteilung) entsteht keine Normalverteilung | 3 (187 · 190 · 655) |
7. Was unmöglich ist: Grenzen klar benennen
Sätze, die sagen: Wie man es auch versucht, das geht nicht. Eine klare Grenze macht auch klar, was möglich ist.
| Satz (wer, wann) | Inhalt | Voraussetzungen | Ohne die Voraussetzungen | Meine Aufsätze |
|---|---|---|---|---|
| Gödelscher Unvollständigkeitssatz (Gödel, 1931) | Ein widerspruchsfreies System, das die Arithmetik der natürlichen Zahlen enthält, hat Aussagen, die es weder beweisen noch widerlegen kann | enthält Arithmetik, widerspruchsfrei, Axiome maschinell aufzählbar | Manche Systeme, etwa die elementare Geometrie der reellen Zahlen, entscheiden jede Aussage | 3 (189 · 259 · 525) |
| Arrow-Theorem (Arrow, 1951) | Bei drei oder mehr Optionen erfüllt kein Verfahren, Stimmen zusammenzufassen, ein paar einfache Fairnessbedingungen zugleich | drei oder mehr Optionen, nur Rangfolgen | Bei zwei Optionen erfüllt die Mehrheitsregel die Bedingungen | 1 (184) |
| Bellsches Theorem (Bell, 1964) | Verfahren, die die Ergebnisse an jedem Ort vorab festlegen (lokale verborgene Variablen), erzeugen die Quantenkorrelationen nicht (2√2 beim CHSH-Wert; ihre Grenze ist 2) | Lokalität, freie Wahl der Messung | Theorien, in denen entfernte Orte direkt verbunden sind, können sie erzeugen | 6 (160 · 227 · 1062) |
| Kochen-Specker-Theorem (Kochen und Specker, 1967) | Man kann nicht annehmen, dass alle Größen schon vor der Messung Werte haben, unabhängig davon, wie Messungen gruppiert werden | drei Dimensionen oder mehr | In zwei Dimensionen geht es | 3 (11 · 41 · 71) |
| No-Cloning-Theorem (Wootters und Zurek; Dieks, 1982) | Ein unbekannter Quantenzustand lässt sich nicht exakt kopieren | der Zustand ist vorher unbekannt | Ein fester Satz orthogonaler Zustände lässt sich kopieren | 1 (281) |
| Kanalkodierungstheorem (Shannon, 1948) | Unterhalb der Kanalkapazität lassen sich Daten mit beliebig wenigen Fehlern senden, oberhalb nicht | lange Codes sind möglich | Bei kurzen Codes bleiben Fehler | 2 (163 · 536) |
Wie die Sätze zusammenhängen
Die sieben Gruppen stehen nicht getrennt. Die Euler-Charakteristik steckt sowohl im Satz von Poincaré-Hopf als auch im Satz von Gauß-Bonnet, und Gauß-Bonnet weitet sich zum Atiyah-Singer-Indexsatz. Der Satz vom Igel folgt aus dem Satz von Poincaré-Hopf. Wendet man den Divergenzsatz auf das elektrische Feld an, erhält man das Gaußsche Gesetz, und sein „nur beim Quadrat“ ist der Ort meines Eindeutigkeitssatzes.
Die beiden Paare in der rechten Spalte haben die Gestalt eines Separators. Erhöht man im Satz des Pythagoras das Quadrat auf einen Kubus oder höher, verschwinden nach dem Großen Fermatschen Satz die Lösungen. Der Dirichletsche Satz sagt, dass eine arithmetische Progression unendlich viele Primzahlen enthält, aber nicht, dass alle ihre Glieder Primzahlen sind; der Satz von Green-Tao antwortet, dass Progressionen aus lauter Primzahlen beliebig lang sein können, und behält die Voraussetzung, dass sie nicht ewig weitergehen.
Zeitleiste
Viele Sätze über Krümmung und Integrale stammen aus dem 19. Jahrhundert, viele über Symmetrie und die Quantenwelt aus dem 20. Der jüngste, der Satz von Green-Tao, wurde 2004 vorgestellt.
Berühmte Sätze, die ich noch nicht benutzt habe
Fünf der 38 nennt noch keiner meiner Aufsätze im Haupttext: die Eulersche Identität, den Jordanschen Kurvensatz, das CPT-Theorem, den Dirichletschen Satz über arithmetische Progressionen und den Satz von Green-Tao. Bei jedem ist klar, was ohne seine Voraussetzungen zerbricht; ich bewahre sie als Samen für künftige Aufsätze auf.
Über diesen Artikel
Dieser Artikel behauptet keinen neuen Satz. Die Inhalte der Sätze habe ich zur besseren Lesbarkeit verkürzt; ihre genaue Form findet sich in den Originalquellen oder in Lehrbüchern. Namen und Jahre habe ich mit Enzyklopädien und den Angaben der Originalarbeiten abgeglichen. Die Zahlen meiner Aufsätze wurden maschinell über die Haupttexte von 1.097 Aufsätzen gezählt; Erwähnungen eines anderen Satzes mit gleichem Namen habe ich gelesen und herausgenommen. Der Eindeutigkeitssatz stammt aus meinen eigenen Aufsätzen, und alle meine Aufsätze sind Preprints ohne Peer-Review (die Seiten sind auf Japanisch, die PDFs der Aufsätze auf Japanisch und Englisch).
Die früheren Artikel „Eine Karte der Abstandsquadratgesetze“ und „Summiert man die Punkte auf Millimeterpapier, hängt das Ergebnis von der Form ab“ sind mit demselben Maßstab geschrieben: Was muss man ändern, damit aus einer Sache eine andere wird?