Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1080 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1080 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月8日 9:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi1080,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Radius Where the 3-Ball and 4-Ball Volumes Are the Same Number Is Where the Largest Dimension Changes},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1080},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月7日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送りました。ビットコインの記録に入るまで数時間かかるため、いまの .ots は受付済みの状態です。記録に入ったら .ots だけを差し替えます（PDF は 1 バイトも変えません）。

書誌

要旨

半径 c の球の体積は、3 次元で (4/3)πc³、4 次元で (π²/2)c⁴ と書ける。c に 1 を入れると $\mathbf{4.188790205}$ と $\mathbf{4.934802201}$ で、4 次元のほうが大きい。二つが同じ数になる半径は c = 8/(3π) = $\mathbf{0.848826363}$ である。本稿は、この半径が何であり、何でないかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、境の列。隣り合う次元の球の体積が同じ数になる半径（本稿では境と呼ぶ）は、1/2、2/π、3/4、8/(3π)、15/16、16/(5π) と続き、有理数と「有理数 ÷ π」が交互に並ぶ。隣どうしの積は (n+1)/(2π) である。

第二に、これが本稿の芯である。境は、体積の数が最大になる次元が移る所である。半径を決めて次元ごとの体積の数を並べると、最大になるのは「境が半径より小さい最後の次元」で、14 通りの半径で確かめた。3 次元が最大になるのは半径が 3/4 と 8/(3π) のあいだにあるときだけで、幅は $\mathbf{0.098826363}$ である。半径 1 は 15/16 と 16/(5π) のあいだにあり、「単位球の体積は 5 次元で最大になる」という古典的な事実（論文59）は、この階段の一段である。

第三に、境は単位で動く。長さの単位を 100 分の 1 にすると、二つの数が同じになる長さは、もとの単位で測って $\mathbf{0.008488264}$ になり、1000 倍にすると $\mathbf{848.826363157}$ になる。光の速さを m/s で入れると二つの数の比は $\mathbf{3.531847}$×10⁸、km/s で入れると $\mathbf{3.531847}$×10⁵ で、同じ数になるのは速さの単位を $\mathbf{353184668.870}$ m/s に取ったときである。8/(3π) は世界の側の定数ではなく、どの単位を選んだかを述べている。

第四に、動かないのは、外接する円柱との割合である。球を、一つ下の次元の球を底にして直径を高さにした円柱に入れると、球が占める割合は 2 次元から順に π/4、2/3、3π/16、8/15 で、半径にも単位にもよらない。3 次元の 2/3 はアルキメデスの割合で、4 次元ではそれが 3π/16 = $\mathbf{0.589048623}$ になる。表面の広さの割合も、体積の割合と同じである。境は、この割合の 2 倍の逆数である。

第五に、その割合の 2 倍は、ウォリスの積分である。球を一つ下の次元の球の薄切りの重ねと見ると、隣の次元との体積の比は一つの積分になる。その積分は二つ飛びの漸化式を持ち、出発点が π と 2 の二つなので、π は一つおきにしか入らない（論文115 の二本の階段）。ウォリスの積が π/2 に足りないぶんは、隣り合う境の比にちょうど等しい。

第六に、次元が式の中の数として入る連分数がある。バウアー（1872）が証明し、ラマヌジャンがハーディへの最初の手紙で伝えた連分数に x = 2n + 1 を入れると、境の二乗が (x + 1²/(2x + 3²/(2x + …)))/(4π) と書ける。n = 4 ではかっこの中が $\mathbf{9.054147873672}$ で、4π で割ると $\mathbf{0.720506194790}$ になり、8/(3π) の二乗との差は 1.110×10⁻¹⁶ だった。

正直に書くと、検算で一度落ちた。連分数を打ち切る段を、測る前に 3000 段と決めていたため、n = 1 で 10 桁に届かなかった（届くのは 1 万段）。届く段を先に測る形に直した。

キーワード：球の体積、次元、ウォリスの積分、連分数、アルキメデス、単位の選択、ラマヌジャン

Abstract

The volume of a ball of radius c is (4/3)πc³ in three dimensions and (π²/2)c⁴ in four.With c = 1 the two numbers are $\mathbf{4.188790205}$ and $\mathbf{4.934802201}$, the four-dimensional one being larger.They become the same number at the radius c = 8/(3π) = $\mathbf{0.848826363}$.This paper counts what that radius is and what it is not.It claims no new theorem and no new law.

First, the sequence of crossings. The radii at which the volumes of balls in neighbouring dimensions are the same number (called crossings here) run 1/2, 2/π, 3/4, 8/(3π), 15/16, 16/(5π), alternating between a rational number and a rational number divided by π. The product of two neighbouring crossings is (n+1)/(2π).

Second, and this is the core of the paper: a crossing is where the dimension with the largest volume number changes. Fix a radius and list the volume numbers dimension by dimension; the largest belongs to the last dimension whose crossing lies below the radius, as checked for 14 radii. Three dimensions are the largest only while the radius lies between 3/4 and 8/(3π), an interval of width $\mathbf{0.098826363}$. The radius 1 lies between 15/16 and 16/(5π), so the classical fact that the unit ball is largest in five dimensions (Paper 59) is one step of this staircase.

Third, the crossing moves with the unit. If the unit of length is made 100 times smaller, the length at which the two numbers agree becomes $\mathbf{0.008488264}$ in the original unit; if it is made 1000 times larger, it becomes $\mathbf{848.826363157}$. With the speed of light in m/s the ratio of the two numbers is $\mathbf{3.531847}$×10⁸, and in km/s it is $\mathbf{3.531847}$×10⁵; they agree when the unit of speed is taken to be $\mathbf{353184668.870}$ m/s. The number 8/(3π) is not a constant of the world; it states which unit was chosen.

Fourth, what does not move is the ratio to the circumscribed cylinder. Put the ball inside the cylinder whose base is the ball one dimension lower and whose height is the diameter. The fraction the ball occupies is π/4, 2/3, 3π/16, 8/15 from two dimensions upward, independent of the radius and of the unit. The 2/3 in three dimensions is the ratio of Archimedes; in four dimensions it becomes 3π/16 = $\mathbf{0.589048623}$. The ratio of the surfaces is the same as the ratio of the volumes. A crossing is the reciprocal of twice this ratio.

Fifth, twice that ratio is the Wallis integral. Seen as a stack of thin slices that are balls one dimension lower, a ball has a volume ratio to its lower neighbour given by a single integral. That integral obeys a recursion that skips two steps and has two starting values, π and 2, so π enters only every other term (the two staircases of Paper 115). The amount by which the Wallis product falls short of π/2 equals exactly the ratio of two neighbouring crossings.

Sixth, there is a continued fraction in which the dimension enters as a number. In the continued fraction proved by Bauer (1872) and communicated by Ramanujan in his first letter to Hardy, putting x = 2n + 1 gives the square of the crossing as (x + 1²/(2x + 3²/(2x + …)))/(4π). For n = 4 the bracket is $\mathbf{9.054147873672}$; divided by 4π it gives $\mathbf{0.720506194790}$, which differs from the square of 8/(3π) by 1.110×10⁻¹⁶.

To be candid, the check failed once. The depth at which the continued fraction is cut off had been fixed at 3000 levels before measuring, and for n = 1 that did not reach 10 digits (10,000 levels are needed). The check now measures the required depth first.

Keywords: volume of the ball, dimension, Wallis integral, continued fraction, Archimedes, choice of unit, Ramanujan

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1080/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1080 はいつも最新の版を指します）。

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