Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文134 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/134 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22080727）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文134】光の曲がりの 4 は、4π ではなく 2(1+γ) である

@misc{yamagishi2026yoi134,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The 4 in the Light-Bending Angle Is Not 4π but 2(1+γ)},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/134},
  doi = {10.5281/zenodo.22080727},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

点質量による光の偏向角は $\alpha=4GM/(c^2b)$ である。本稿はこの $4$ の内訳を書く。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、$4$ は $4\pi$ ではない。$2\times2$ である。第一の $2$ は積分の値である。本稿では横向きの力を直線に沿って積分し、$\int_{-\infty}^{\infty}GMb/(b^2+z^2)^{3/2}dz=2GM/b$ を記号計算で得た。円周率はどこにも現れない（第2節）。

第二に、これが本稿の芯の一つ。第二の $2$ は測られている量である。パラメータ化ポスト・ニュートン形式では $\alpha=(1+\gamma)\,2GM/(c^2b)$ であり、一般相対論は $\gamma=1$ を予言する。だが $\gamma$ は理論によって動く。ブランス＝ディッケでは $\gamma=(1+\omega)/(2+\omega)$ であり、本稿の表では $\omega=1$ で「$4$」が $3.333$、$\omega=100$ で $3.980$ になる。$4$ は数学的必然ではない。前半は等価原理から、後半は計量についての経験的言明である（第3節）。

第三に、シュヴァルツシルト計量の厳密な偏向積分がそれを裏づける。本稿では端点特異性を変数変換で外して求積し、$b/m=10^4$ で比 $1.00029464$、既知の二次項 $1+15\pi m/(16b)=1.00029452$ と7桁一致を得た（第2節）。

第四に、これが本稿の芯のもう一つ。二倍は重力の性質ではなく $v=c$ の性質である。速さ $v$ の粒子の偏向はニュートン値の $1+v^2/c^2$ 倍である。本稿の表では $v/c=1$ で $2.000$、$0.5$ で $1.250$、$0.1$ で $1.010$、$0.01$ で $1.0001$。「光は二倍落ちる」という絵は正しくない。$2$ になるのは光子が $v=c$ だからである（第4節）。

第五に、では $4\pi$ はどこにあるか。臨界面密度である。$\Sigma_{\rm cr}=c^2D_s/(4\pi G D_lD_{ls})$、この $4\pi$ はポアソン方程式から来ており（論文35 の事実の側）、曲がり角ではなく質量を復元する段に住んでいる。論文130 と同じ形である（第5節）。

第六に、アインシュタイン環の中身は「平均収束度がちょうど $1$」である。本稿で記号計算により確認した。$\theta_E$ の指数 $1/2$ は二次方程式を解いた跡であって、球面の幾何ではない（第6節）。

Abstract

The deflection of light by a point mass is $\alpha=4GM/(c^2b)$. This paper writes what that $4$ is made of. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, the $4$ is not $4\pi$. It is $2\times2$. The first $2$ is the value of an integral: integrating the transverse force along a straight line, this paper obtains $\int_{-\infty}^{\infty}GMb/(b^2+z^2)^{3/2}dz=2GM/b$ symbolically. No $\pi$ appears anywhere (Section 2).

Second, one of the two cores. The second $2$ is a measured quantity. In the parametrised post-Newtonian formalism $\alpha=(1+\gamma)\,2GM/(c^2b)$, and general relativity predicts $\gamma=1$. But $\gamma$ moves between theories: in Brans–Dicke $\gamma=(1+\omega)/(2+\omega)$, and the table here gives the “$4$” as $3.333$ at $\omega=1$ and $3.980$ at $\omega=100$. The $4$ is not a mathematical necessity. The first half follows from the equivalence principle; the second half is an empirical statement about the metric (Section 3).

Third, the exact Schwarzschild deflection integral confirms it. Removing the endpoint singularity by substitution and quadrating, this paper obtains at $b/m=10^4$ a ratio of $1.00029464$, agreeing to seven digits with the known second-order term $1+15\pi m/(16b)=1.00029452$ (Section 2).

Fourth, the other core. The doubling belongs to $v=c$, not to gravity. The deflection of a particle of speed $v$ is $1+v^2/c^2$ times the Newtonian value. The table here gives $2.000$ at $v/c=1$, $1.250$ at $0.5$, $1.010$ at $0.1$ and $1.0001$ at $0.01$. The picture that light falls twice as fast is wrong: the factor is $2$ only because a photon has $v=c$ (Section 4).

Fifth, so where is the $4\pi$? In the critical surface density. $\Sigma_{\rm cr}=c^2D_s/(4\pi G D_lD_{ls})$: that $4\pi$ comes from Poisson’s equation (the “fact” side of Paper 35) and lives in the step that reconstructs the mass, not in the bending angle. The same shape as Paper 130 (Section 5).

Sixth, the content of the Einstein ring is that the mean convergence inside it is exactly $1$, as verified symbolically here. The exponent $1/2$ in $\theta_E$ is the trace of solving a quadratic, not the geometry of a sphere (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/134/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/134 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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