Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文135 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/135 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22081063）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文135】体積か、エネルギーか：両方は取れない

@misc{yamagishi2026yoi135,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Volume or Energy: You Cannot Have Both},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/135},
  doi = {10.5281/zenodo.22081063},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文77 はリウヴィルの定理（ハミルトン流が位相空間の体積を保つこと）を記録した。本稿はその離散版を点呼し、数値解法が何を保ち、何を保たないかを書き分ける。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、体積の保存は厳密である。リープフロッグ法一歩のヤコビ行列式を記号計算するとちょうど $1$、半陰的オイラー法もちょうど $1$である。一方陽的オイラー法は $1+h^2k$ で体積を膨らませ、古典的ルンゲ＝クッタ4次法は $1-h^6k^3/72+h^8k^4/576$ で縮める（第2節）。

第二に、これが本稿の芯の一つ。シンプレクティックであることは、エネルギーを保つことではない。調和振動子を刻み $0.1$ で $10^7$ 歩まわすと、リープフロッグ法のエネルギーは$0.9975$ から $1$ の帯の中で振動し続け、帯そのものは動かない。ルンゲ＝クッタ4次法は同じ歩数で$0.8705$ まで落ちる。シンプレクティック法が厳密に保つのは、真のハミルトニアンではなく近傍の「影のハミルトニアン」である（第3節）。

第三に、シンプレクティックであることは、精度が高いことでもない。刻み $0.05$ で $20$ 周期後の位置誤差は、リープフロッグ法が $9.4\times10^{-5}$、ルンゲ＝クッタ4次法が $3.6\times10^{-7}$ である。短時間では四次法のほうが二桁以上正確である。シンプレクティック性が買っているのは長時間の質的な振る舞いであって、精度ではない（第4節）。

第四に、ケプラー問題での署名が明瞭である。離心率 $0.5$、刻み $0.01$ で相対エネルギー誤差を測ると、ルンゲ＝クッタ4次法は $10$ 周で $3.032\times10^{-8}$、$100$ 周で $3.032\times10^{-7}$、$1000$ 周で $3.032\times10^{-6}$、周回数にきっかり比例する。これが永年ドリフトの署名である。リープフロッグ法は同条件で四〜六桁小さく、この比例則に従わない（第5節）。

第五に、これが本稿の芯のもう一つ。両方は取れない。ゲー＝マースデンの定理（1988）は、シンプレクティックでありながらエネルギーを厳密に保つ積分法は、時間の径数付け替えを除いて厳密な流れそのものでしかありえないと述べる。体積か、エネルギーか。答えを既に持っていない限り、両方は取れない（第6節）。

Abstract

Paper 77 recorded Liouville’s theorem, that a Hamiltonian flow preserves phase-space volume. This paper calls the roll on its discrete counterpart and separates what a numerical method preserves from what it does not. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, the preservation of volume is exact. Computing symbolically the Jacobian determinant of one step, leapfrog gives exactly $1$ and semi-implicit Euler gives exactly $1$, whereas explicit Euler gives $1+h^2k$ and inflates the volume and classical fourth-order Runge–Kutta gives $1-h^6k^3/72+h^8k^4/576$ and contracts it (Section 2).

Second, one of the two cores. Being symplectic is not conserving the energy. Running a harmonic oscillator for $10^7$ steps at $h=0.1$, the leapfrog energy keeps oscillating inside the band $[0.99750,\,1]$ and the band itself does not move, while fourth-order Runge–Kutta falls to $0.87048$. What a symplectic method preserves exactly is not the true Hamiltonian but a nearby “shadow” Hamiltonian (Section 3).

Third, being symplectic is not being accurate either. After $20$ periods at $h=0.05$ the position error is $9.4\times10^{-5}$ for leapfrog and $3.6\times10^{-7}$ for fourth-order Runge–Kutta. Over short times the fourth-order method is more than two orders better. Symplecticity buys long-time qualitative behaviour, not accuracy (Section 4).

Fourth, secular drift has a clear signature in the Kepler problem. At eccentricity $0.5$ and $h=0.01$ the relative energy error of fourth-order Runge–Kutta is $3.032\times10^{-8}$ after $10$ orbits, $3.032\times10^{-7}$ after $100$ and $3.032\times10^{-6}$ after $1000$: exactly proportional to the number of orbits, which is the signature of secular drift. Leapfrog’s is four to six orders smaller and does not follow that law (Section 5).

Fifth, the other core. You cannot have both. The Ge–Marsden theorem (1988) states that an integrator that is both symplectic and exactly energy-conserving can only be the exact flow itself, up to a reparametrisation of time. Volume or energy. Not both, unless one already has the answer (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/135/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/135 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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