Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文213 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/213 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22119380）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文213】「戻ってくる」には別根がある

@misc{yamagishi2026yoi213,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Coming Back Has Distinct Roots},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/213},
  doi = {10.5281/zenodo.22119380},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「もとに戻る」という一つの言い方が、少なくとも三つの別の事柄を指している。本稿は $f(t)=\sin t+\sin(\sqrt2\,t)$ を測り、正確に戻る／決して正確には戻らない／いくらでも近くまで戻るを数で分ける。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、振動数が一つなら正確に戻る。$\sin t$ の $T=2\pi$ でのずれは $8.27\times10^{-43}$、すなわち計算精度の零である（第2節）。

第二に、二つになると決して正確には戻らない。$T$ を $10^5$ まで探しても最小のずれは $6.38\times10^{-4}$ で、零には決して届かない。届けば $\sqrt2$ が有理数になってしまう（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。良い戻り時刻を選んでいるのは $\sqrt2$ の連分数であり、その収束分母 $q$ に対してずれ $\times\,q$ が一定に落ち着く。その値は $\pi/\sqrt2=2.2214414690791831$ であり、$q=470832$ で十二桁一致した（第4節）。

第四に、良い時刻は疎らではない。ずれが $0.1$ 未満になる $T$ の最大の間隔は、探索範囲を $10^4$ から $4\times10^4$ に広げても $182.182$ のまま動かない（第5節）。

第五に、$\{n\sqrt2\}$ の隣り合う間隔は、$N$ をどれだけ大きくしてもちょうど三種類であった。$N=10,50,200,1000,5000$ のすべてで $3$（第6節）。

Abstract

The single phrase “returns to where it was” points at three separate things. This paper measures $f(t)=\sin t+\sin(\sqrt2\,t)$ and separates in numbers returning exactly, never returning exactly, and returning arbitrarily close. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, with one frequency it returns exactly. The deviation of $\sin t$ at $T=2\pi$ is $8.27\times10^{-43}$, which is zero at the precision carried (Section 2).

Second, with two it never returns exactly. Searching $T$ out to $10^5$ the smallest deviation found is $6.38\times10^{-4}$, and zero is never reached、reaching it would make $\sqrt2$ rational (Section 3).

Third, this is the core. What chooses the good return times is the continued fraction of $\sqrt2$, and against its convergent denominators $q$ the deviation times $q$ settles on a constant、that constant is $\pi/\sqrt2=2.2214414690791831$, matched to twelve digits at $q=470832$ (Section 4).

Fourth, the good times are not sparse. The largest gap between times with deviation below $0.1$ stays at $182.182$ as the search range widens from $10^4$ to $4\times10^4$ (Section 5).

Fifth, the gaps between neighbouring points of $\{n\sqrt2\}$ take exactly three values however large $N$ is、three at $N=10,50,200,1000$ and $5000$ alike (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/213/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/213 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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