Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文957 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/957 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月14日 12:20 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi957,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Stratum Boundaries at Equal Steps of Cumulative Root Frequency Come Close to Optimal, While Equal Counts Do Worst},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/957},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

林を層に分けて標本を取るとき、層の境をどこに引くかで推定の誤差が変わる。本稿は、大きい木が少なく小さい木が多い片寄った材積の分布を三つの層に分け、層のばらつきに合わせて $30$ か所を配るときの平均の推定の分散を、値の幅で揃えた境・本数で揃えた境・度数の平方根の累積を等分する境・探した最適な境で比べる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、度数の平方根の累積で等分した境は、探した最適とほとんど同じ誤差になる。推定の分散は最適の $\mathbf{1.002608}$ 倍で、単純無作為に対しては $0.141324$ 倍（最適は $0.140956$ 倍）だった（第2節）。

第二に、本数で揃えた境がいちばん悪い。三つの層に同じ本数が入るように境を引くと、推定の分散は最適の $\mathbf{1.680702}$ 倍で、値の幅で揃えた境の $1.454160$ 倍より大きかった（第2節）。

第三に、境の位置も最適に近い。度数の平方根の累積で等分した境は $103.181$・$267.212$、探した最適な境は $108.272$・$268.497$ で、本数で揃えた境は $63.779$・$127.050$ と小さい側に寄った（第2節）。

第四に、どの境でも層に分ける得は大きい。単純無作為の分散 $457.395297$ に対して、いちばん悪い本数で揃えた境でも $108.359509$（$0.236906$ 倍）まで下がった（第2節）。

第五に、分離子は、境を値の幅で揃えるか、本数で揃えるか、その間で揃えるかである。片寄った分布では、本数で揃えると境は小さい側に寄り、値の幅で揃えると大きい側に寄った。度数の平方根で揃えると、その間の、探した最適に近い境になった（第3節）。

キーワード：層別抽出、層の境、ダレニウス＝ホッジスの方法、ネイマン配分、推定の分散、片寄った分布

Abstract

When a forest is divided into strata for sampling, where the stratum boundaries are drawn changes the estimation error.This paper divides a skewed volume distribution, with few large trees and many small ones, into three strata, and compares the variance of the estimated mean with $30$ plots allocated to match stratum variability, for boundaries equalising value ranges, boundaries equalising counts, boundaries at equal steps of cumulative root frequency, and searched optimal boundaries.No new theorem or law is claimed.

First, boundaries at equal steps of cumulative root frequency give almost the same error as the searched optimum: the variance of the estimate was $\mathbf{1.002608}$ times the optimum, and $0.141324$ times simple random sampling (the optimum being $0.140956$ times) (Section 2).

Second, boundaries equalising counts do worst: drawing boundaries so each stratum holds the same number of trees gave a variance $\mathbf{1.680702}$ times the optimum, larger than the $1.454160$ times of boundaries equalising value ranges (Section 2).

Third, the boundary positions are also close to optimal: boundaries at equal steps of cumulative root frequency were $103.181$ and $267.212$, the searched optimum $108.272$ and $268.497$, while boundaries equalising counts were $63.779$ and $127.050$, shifted to the small side (Section 2).

Fourth, stratifying gains a lot with any boundaries: against a simple random sampling variance of $457.395297$, even the worst boundaries, equalising counts, brought it down to $108.359509$ ($0.236906$ times) (Section 2).

Fifth, the separator is whether boundaries equalise value ranges, counts, or something in between: in a skewed distribution, equalising counts shifted the boundaries to the small side and equalising value ranges shifted them to the large side. Equalising the square root of frequency gave boundaries in between, close to the searched optimum (Section 3).

Keywords: stratified sampling, stratum boundaries, Dalenius-Hodges method, Neyman allocation, variance of the estimate, skewed distribution

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/957/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/957 はいつも最新の版を指します）。

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