Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

測るものを目標にすると、それは測るものでなくなる。この言い回しは、しばしば「人が制度を出し抜くから」と説明される。本稿は、そこに誰もいなくても起きる 三つがあることを書く。新しい数学定理も新しい統計手法も主張しない。

第一に、雑音のある代理で選抜すると、選ぶほど雑音を拾う。雑音の標準偏差が $1.0$ のとき、上位 $0.1\%$ を代理で選ぶと目標の平均は $2.378$ にとどまり、目標そのもので選んだ $3.359$ に $0.981$ 届かなかった（第2節）。

第二に、これが柵である。誤差の裾が軽ければ、代理を強く最適化するほど目標も良くなる。ところが裾が重いと、最適な最適化量があり、それを越えると悪くなる。コーシー誤差では上位 $20\%$ の $0.528$ が頂点で、上位 $0.01\%$ では $0.005$、すなわち無作為と変わらない（第3節）。

第三に、相関そのものが裾では効かない。相関 $0.99$ の正規対でも、上位 $q$ での一致率は $0.901$ から $0.765$ へ落ち続けた（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。代理は目標を予測するが制御しない。相関 $0.995$ の設定で、$P$ を観測して $2.5$ だったときの目標の平均は $2.477$、ところが $P$ を $2.5$ に書き込んだときの目標の平均は $-0.0001$、差は値の全部である（第5節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理も新しい統計手法も主張しない。選抜による偏り、正規対に裾の依存が無いこと、観測と介入の区別は、いずれも標準的である。また、いかなる制度・組織・政策についても主張しない。扱うのは、代理量と目標量のあいだの数学だけである。論文183 との関係：183 は同じ表が二つの正しい答を持つことを示し、決めるのは矢印だと書いた。本稿の第四の根はその機械をそのまま使う。新しい型ではなく、同じ型が代理量のところにも現れるという報告である。語について：本体系で「指標」はこれまで一貫して表現論の指標であった（論文70・152・181）。本稿の「代理」はそれとは無関係である。加えたのは四つの根を「何が繋がりを切るか」で分けたこと、柵が誤差の大きさではなく裾にあることを測ったこと、裾の依存の無さを五桁にわたって追ったこと、観測と介入の差を数で並べたことである。

1. 記法と位置づけ

本当に良くしたい量を目標、実際に測る量を代理と呼ぶ。以下、目標は標準正規に従うものとし、代理は目標に誤差を足したものとする。数値はすべて自前の抽出であり、標本数を明記する。

位置づけ：論文164 は「確率」に四つの住所があると書き、論文183 は同じ表が二つの正しい答を持つことを示した。本稿はその隣で、測ることと良くすることの隙間を測る。

2. 雑音のある代理で選ぶと、選ぶほど雑音を拾う

検算 2.1：目標を標準正規、代理をそれに雑音を足したものとし、$200$ 万点から上位を選ぶ。

（証明終）

観察 2.2　選抜が厳しいほど、選ばれたものに占める雑音の割合が増える。ここには誰もいない。出し抜こうとする者も、制度も、意図もない。代理に誤差があるというだけで起きる。

3. 柵は、誤差の大きさではなく裾である

検算 3.1：同じ設定で、誤差を正規（軽い裾）とコーシー（重い裾）に取り替え、選抜を強くしていく。

（証明終）

観察 3.2　正規の誤差では、強く最適化するほど目標が良くなる（単調である）。コーシーの誤差では上位 $20\%$ が頂点であり、そこから先は下がって、上位 $0.01\%$ では $0.005$、無作為に選ぶのと変わらない。

観察 3.3　分けているのは誤差の大きさではない。第2節では雑音を $2.0$ まで大きくしても単調のままだった。分けているのは裾である。重い裾では、代理の最上位を占めるのが目標の高い個体ではなく、誤差がたまたま巨大だった個体になる。

観察 3.4　したがって「最適化は良いことだ」も「最適化は危険だ」も、どちらも半分の文である。正しくは、どこまで最適化してよいかは誤差の裾が決める。論文157 が最小二乗をコーシー誤差で壊したのと同じ場所に、同じ理由で柵が立っている。

4. 相関そのものが、裾では効かない

検算 4.1：相関 $\rho$ の正規対 $(X,Y)$ を $800$ 万点取り、$X$ が上位 $q$ にあるとき $Y$ も上位 $q$ にある割合を測る。

いずれの行も標本は $800$ 以上である。（証明終）

観察 4.2　相関 $0.99$ でも、先端へ行くほど一致率が落ち続ける。正規対には裾の依存が無い。$\rho$ が $1$ 未満である限り、極限では一致率は $0$ になる。ただし本稿の計算はその極限に到達していないし、到達したとも言わない。示したのは、五桁進んでもまだ落ち続けているということである。

観察 4.3　相関は真ん中で測られる。最適化はこちらを先端へ連れて行く。測った場所と使う場所が違う。これは誤差の話ですらなく、領域の話である。

5. 芯：代理は予測するが、制御しない

観察 5.1　代理が目標から生じる場合を考える。矢印は目標から代理へ向かい、$P=T+0.1\varepsilon$ である。観測上、代理は目標をよく予測する（相関 $0.995$）。

検算 5.2：$400$ 万点。

（証明終）

観察 5.3　代理を見て高ければ、目標は高い。代理を書いて高くしても、目標は動かない。矢印が目標から代理へ向かっているからである。差は $2.477$ 対 $-0.0001$、すなわち値の全部である。

観察 5.4　この型は本体系の新顔ではない。論文183 は同じ表が二つの正しい答を持つことを示し、決めているのは矢印であって表の欄ではないと書いた。本稿が加えるのは、同じ型が代理量のところにも現れるという一点だけである。

6. 点呼：何が繋がりを切るのか

観察 6.1　

観察 6.2　四つのうち三つは、誰もいなくても起きる。「人が制度を出し抜くから」という説明は、四番目にしか当たらない。前の三つには意図も主体も要らず、誤差・領域・矢印という数学だけで起きる。

観察 6.3　そして対処も四つとも違う。回帰的な根には、誤差を減らすか最適化を止める場所を決めることである（柵は裾）。極値的な根には、使う領域で測り直すことである。因果的な根には、介入で測ることである。観測をいくら増やしても足りない。敵対的な根には、相手の側の話が要る。一語で呼ぶから、対処も一つだと思ってしまう。

7. 結論

1. 選抜は誤差を拾う（検算2.1）：上位 $0.1\%$ で $2.378$ 対 $3.359$。
2. 柵は誤差の裾（検算3.1）：正規では単調、コーシーでは上位 $20\%$ が頂点。
3. 裾では相関が効かない（検算4.1）：$\rho=0.99$ でも $0.901$ から $0.765$ へ。
4. 予測と制御は別（検算5.2）：$2.477$ 対 $-0.0001$。
5. 三つは誰もいなくても起きる（観察6.2）。

結び：「この指標は目標にした途端に壊れた」と言われたら、次に問うべきは何が繋がりを切ったのかである。誤差か、領域か、矢印か、相手か。そして最初の三つには、出し抜こうとした者は一人もいない。

参考文献

1. Goodhart, C. A. E. (1975). Problems of Monetary Management: The U.K. Experience. Papers in Monetary Economics, Reserve Bank of Australia.
2. Campbell, D. T. (1979). Assessing the Impact of Planned Social Change. Evaluation and Program Planning, 2(1).
3. Sibuya, M. (1960). Bivariate Extreme Statistics. Annals of the Institute of Statistical Mathematics, 11(3).
4. Capen, E. C., Clapp, R. V., Campbell, W. M. (1971). Competitive Bidding in High-Risk Situations. Journal of Petroleum Technology, 23(6).
5. Pearl, J. (1995). Causal Diagrams for Empirical Research. Biometrika, 82(4).
6. Manheim, D., Garrabrant, S. (2018). Categorizing Variants of Goodhart’s Law. arXiv:1803.04585.
7. 山岸勇輝 (2026). 「不確定性原理」は一つの定理ではない [論文129]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079681
8. 山岸勇輝 (2026). カルバック＝ライブラーは距離ではない [論文137]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22081369
9. 山岸勇輝 (2026). 重なりか、隔たりか [論文139]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22081801
10. 山岸勇輝 (2026). 二乗の点呼 [論文157]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22091931
11. 山岸勇輝 (2026). 「確率」は四つの住所を持つ [論文164]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22092815
12. 山岸勇輝 (2026). 柵は線形性である [論文171]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22094287
13. 山岸勇輝 (2026). 「次元の呪い」は一つの呪いではない [論文182]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22104170
14. 山岸勇輝 (2026). 同じ表が、二つの正しい答を持つ [論文183]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22104230
15. 山岸勇輝 (2026). 両立しなくなるのは、三つ目の選択肢からである [論文184]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22105459
16. 山岸勇輝 (2026). 欠陥を分類しているのは行き先の空間である [論文185]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22105496

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「代理を目標にすると、代理でなくなる」［論文186］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22105530

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
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