Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

「$3$ dB 上がった」という一文は、何が何倍になったかを決めていない。本稿が問うのは、何通りあるのかである。答は、同じ「$2$ 倍」に三つの別の数が対応する。そして三つとも根拠が違う。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、同じ「$2$ 倍」を三通りに書く。音圧なら $\mathbf{6.0206}$ dB、音響パワーなら $\mathbf{3.0103}$ dB、ラウドネスなら $\mathbf{+10}$ phon である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。$20$ と $10$ の違いはパワーが振幅の二乗だからであり、$+10$ phon はべき則から来ている。三つとも別の根拠である（第3節）。

第三に、基準も三つ別々である。音圧レベルは $20 \mu$Pa、音響パワーレベルは $1$ pW、ラウドネスは $1$ kHz $40$ dB を $1$ sone とする（第4節）。

第四に、「$3$ dB」はちょうど $2$ 倍ではない。$3$ dB のパワー比は $\mathbf{1.9953}$ 倍である。$3.0103$ を $3$ と丸めた分だけずれる（第2節）。

第五に、同じ dB 値が量によって別の倍率を意味する。$20$ dB は音圧で $\mathbf{10}$ 倍、パワーで $\mathbf{100}$ 倍である（第2節）。

第六に、論文273 の逆である。あちらは同じ単位が四つの量を書いていた。本稿は一つの記号 dB が、基準を書かなければ量を持たない（第5節）。

射程（何を示さないか）

新しい数学定理も新しい法則も主張しない。デシベルの定義、音圧レベルと音響パワーレベルの基準、ソーンとフォンの尺度は、いずれも標準的である。音響学を作らない。使うのは対数と、三つの基準の突き合わせだけである。聴覚を論じない。等ラウドネス曲線の由来にも、個人差にも立ち入らない。ソーンの尺度を導かない。$1$ sone の倍加が $+10$ phon であることは規約として引くだけである。音響測定の実務を扱わない。重み付け（A特性など）も、時定数も扱わない。精神物理の法則を再検討しない。論文272 がフェヒナーとスティーヴンスを扱った。本稿はその音響版であり、法則の当否には立ち入らない。電気工学の dB を扱わない。電圧比と電力比でも同じ $20$ と $10$ の差が出るが、本稿は音に限る。既刊との関係：論文272 は同じ「$2$ 倍に感じる」が刺激の側で $6.70$ 倍ひらくことを示した。本稿はその音響版であり、$+10$ phon はスティーヴンスのべき則から来ている。二編で対になる。論文273 は同じ $\mathrm{J/kg}$ が四つの別の量を書いていることを数えた。本稿は逆向きで、一つの記号が基準を書かなければ量を持たないことを書く。論文190 は「稀」を対数の目盛りで測った。本稿は対数の目盛りそのものが三通りあることを書く。論文255 は「精度」が二つあることを扱った。同じ形である。論文201 は「完備」が四つの別の主張であることを数えた。同じ形の点呼である。加えたのは同じ「$2$ 倍」に $6.0206$・$3.0103$・$+10$ の三つを並べたこと、三つの根拠が別々だと書き分けたこと、$3$ dB がちょうど $2$ 倍ではなく $1.9953$ 倍だと出したこと、$20$ dB が音圧で $10$ 倍・パワーで $100$ 倍になると並べたことである。

1. 記法と位置づけ

設定：デシベルは、二つの量の比の対数である。パワーのような量には $10\log_{10}$、振幅のような量には $20\log_{10}$ を使う。

問い：「$3$ dB 上がった」と言うとき、何が何倍になったのか。

答は、決まらない。どの量の比なのかと、基準が何かを書かなければ、dB は数ですらない。

注意：本稿は音に限る。電気工学でも同じ $20$ と $10$ の差が出るが、扱わない。

2. 芯：同じ「$2$ 倍」が三つの数になる

検算 2.1：何かが $2$ 倍になったとき、dB でどう書かれるかを並べる。

観察 2.2　同じ「$2$ 倍」に、三つの別の数が対応する。どれも正しく、どれも別のことを言っている。

検算 2.3：逆に、同じ dB 値が量によって何倍を意味するかを並べる。

観察 2.4　$20$ dB は、音圧では $10$ 倍、パワーでは $\mathbf{100}$ 倍である。同じ数字が、量によって $10$ 倍違う倍率を意味する。

観察 2.5　そして「$3$ dB でちょうど $2$ 倍」は正確ではない。パワー比は $\mathbf{1.9953}$ である。$3.0103$ を $3$ と丸めた分だけずれている。$0.24\%$ の差だが、定義ではなく丸めである。

観察 2.6　面白いことに、$6$ dB の音圧比も $1.9953$ である。$3$ dB のパワー比と同じ数になる。どちらも $10^{3/10}$ だからで、偶然ではない。

3. 三つの根拠は、別々である

観察 3.1　第一の根拠、$20$ と $10$ の違いはパワーが振幅の二乗だからである。$P\propto p^2$ なので $10\log_{10}(p^2/p_0^2)=20\log_{10}(p/p_0)$、物理からの帰結である。

検算 3.2：$20$ を $10$ で割ると $2.0000$ である。これは指数の $2$ そのものである。

観察 3.3　$+10$ phon $=$ $2$ sone は物理からは出てこない。ラウドネスのべき則の指数がおよそ $0.6$ なので、$2$ 倍に感じるには音響パワーを約 $10$ 倍にする必要がある。論文272 が扱ったスティーヴンスのべき則が、ここに規約として埋め込まれている。

観察 3.4　分離子、何を動かすと数が変わるか。どの量の比を取っているかである。音そのものも、聞く人も、一つも動かしていない。

4. 基準も、三つ別々である

検算 4.1：三つの尺度の基準を並べる。

観察 4.2　基準が三つとも違う。したがって「$80$ dB」という表示は、どの基準からの $80$ dB かを書かなければ意味が定まらない。

観察 4.3　$20 \mu$Pa という基準も規約である。$1$ kHz における聴覚のおよその閾値として選ばれた。測定値ではなく、取り決めである。

観察 4.4　正直に書くべき点、実務では A特性などの重み付けが加わり、さらに別の数になる。本稿はそこに立ち入らない。重み付けを入れれば、区別すべきものはもっと増える。

5. 論文273 の逆である

観察 5.1　論文273 は、同じ単位 $\mathrm{J/kg}$ が四つの別の量を書いていることを数えた。本稿は逆向きである。dB という記号は、基準を書かなければ量を持たない。

検算 5.2：二つを並べる。

観察 5.3　$\mathrm{J/kg}$ は次元を持っているが、dB は無次元である。比の対数なので、何で割ったかを書かなければ何も指していない。

観察 5.4　論文272 は「$2$ 倍に感じる」が刺激の側で $6.70$ 倍ひらくことを示した。本稿はその音響版で、同じ「$2$ 倍」が $6.0206$・$3.0103$・$+10$ の三つになる。二編で対になっている。

6. 点呼と結び

1. $2$ 倍が三つの数に（検算2.1）：$6.0206$・$3.0103$・$+10$。
2. $20$ dB が $10$ 倍と $100$ 倍（検算2.3）：量によって $10$ 倍違う。
3. 「$3$ dB で $2$ 倍」は丸め（観察2.5）：実際は $1.9953$ 倍。
4. $6$ dB の音圧比も $1.9953$（観察2.6）：どちらも $10^{3/10}$。
5. $20$ 対 $10$ は物理（観察3.1）：$P\propto p^2$ から。
6. $+10$ phon は規約（観察3.3）：べき則から埋め込まれている。
7. 基準も三つ別々（検算4.1）：$20 \mu$Pa、$1$ pW、$1$ sone。
8. $20 \mu$Pa も規約（観察4.3）：測定値ではない。
9. 論文273 の逆（検算5.2）：一つの記号に量が無い。

結び：デシベルは比であって、量ではなかった。同じ「$2$ 倍」が、音圧では $\mathbf{6.0206}$ dB、音響パワーでは $\mathbf{3.0103}$ dB、ラウドネスでは $\mathbf{+10}$ phon になる。そして三つとも根拠が違う。$20$ 対 $10$ は物理からの帰結（パワーは振幅の二乗）、$+10$ phon はべき則から来た規約、基準値は取り決めである。逆に同じ $20$ dB が、音圧では $10$ 倍、パワーでは $\mathbf{100}$ 倍を意味する。そして「$3$ dB でちょうど $2$ 倍」も丸めであって、実際は $1.9953$ 倍である。分けるものは一つ、どの量の比を、何を基準に取っているのかを書き出すこと。書き出せば、$6.0206$ と $3.0103$ が同じことを二通りに書いているのが見える。書き出さなければ、$20$ dB を $10$ 倍とも $100$ 倍とも読める文章を書いてしまう。

参考文献

1. Fletcher, H. and Munson, W. A. (1933). Loudness, Its Definition, Measurement and Calculation. The Journal of the Acoustical Society of America, 5(2).
2. Stevens, S. S. (1936). A Scale for the Measurement of a Psychological Magnitude: Loudness. Psychological Review, 43(5).
3. ISO 226:2003. Acoustics、Normal Equal-Loudness-Level Contours. Geneva: International Organization for Standardization.
4. Kinsler, L. E., Frey, A. R., Coppens, A. B. and Sanders, J. V. (2000). Fundamentals of Acoustics, 4th edition. New York: Wiley.
5. Beranek, L. L. and Mellow, T. J. (2012). Acoustics: Sound Fields and Transducers. Oxford: Academic Press.
6. BIPM (2019). The International System of Units (SI), 9th edition. Sevres: Bureau International des Poids et Mesures.
7. 山岸勇輝 (2026). 「稀」は、対数の目盛りで測る [論文190]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22106182
8. 山岸勇輝 (2026). 「完備」は四つの別の主張である [論文201]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22109052
9. 山岸勇輝 (2026). 「精度」は二つあり、較正で消えるのは一方だけ [論文255]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22168883
10. 山岸勇輝 (2026). 同じ「$2$ 倍に感じる」が、刺激の側では $6.70$ 倍ひらく [論文272]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22169965
11. 山岸勇輝 (2026). 同じ $\mathrm{J/kg}$ で書かれた、四つの別の量 [論文273]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22169983

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「デシベルは比であって、量ではない」［論文276］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22170073

@misc{yamagishi2026yoi276,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Decibel Is a Ratio and Not a Quantity},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/276},
  doi = {10.5281/zenodo.22170073},
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