Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

検査の精度が高ければ、陽性は信じてよいと思われている。本稿が示すのは、同じ検査の的中率が有病率で $\mathbf{0.09}$ から $\mathbf{0.99}$ まで動くことである。そして直すべきは感度ではなく、特異度である。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、有病率 $0.5$ では的中率が $\mathbf{0.990000000000}$ で、感度・特異度と一致する（第2節）。

第二に、有病率 $0.001$ では $\mathbf{0.090164}$ まで落ちる（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。的中率が $0.5$ になる有病率は $\mathbf{0.010000000}$ で、閉じた式 $(1-\mathrm{sp})/((1-\mathrm{sp})+\mathrm{se})$ と一致する（第3節）。

第四に、特異度を $0.999$ にすると $\mathbf{0.497738}$ へ、$\mathbf{5.4750}$ 倍になる（第3節）。

第五に、感度を $0.999$ にしても $\mathbf{0.090909}$ にしかならない（第3節）。

第六に、分離子は「検査の性能か、検査と有病率の組か」である（第4節）。

キーワード：ベイズの定理、陽性的中率、感度、特異度、有病率。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。ベイズの定理、感度・特異度、陽性的中率はすべて既知である。医学的な助言をしない。どの検査を受けるべきか、結果をどう解釈するかは主題ではない。臨床の判断は専門の指示に従うこと。特定の検査を論じない。感度・特異度 $0.99$ は説明のための値であり、実在の検査の性能ではない。検査の連鎖を扱わない。二段階検査、確認検査、独立性の仮定は主題ではない。費用と害を扱わない。偽陽性がもたらす追加検査や不安の重みは主題ではない。既刊との関係：論文469 は同じ $1$ 割増の効きが起点で $9$ 倍違うことを示した。そこでも、操作の効果が状態で決まった。論文300 は同根か別根かが判定できることを示した。「検査の精度」と「陽性の信頼性」は、その基準で別根である。論文460 は暑さの限界が二つの量の組で決まることを示した。そこでも、一つの数だけでは順序が決まらなかった。加えたのは、四つの有病率で的中率を出したこと、的中率が $0.5$ になる有病率を二分法と閉じた式の両方で $0.010000000$ と出したこと、特異度と感度の効きを $0.497738$ 対 $0.090909$ と並べたこと、比を $5.4750$ 倍と出したこと、分離子を「検査の性能か、検査と有病率の組か」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：有病率 $p$、感度 $\mathrm{se}$、特異度 $\mathrm{sp}$ の検査を考える。陽性と出たときに本当に病気である確率（陽性的中率）は、ベイズの定理から

$$\mathrm{PPV}=\frac{p\,\mathrm{se}}{p\,\mathrm{se}+(1-p)(1-\mathrm{sp})}$$

である。以下 $\mathrm{se}=\mathrm{sp}=0.99$ を基準とする。

観察 1.1　検査の精度が高ければ、陽性は信じてよいと思われている。$99$ パーセント当たる検査、$99$ パーセント正しいはずだ、と読める。

観察 1.2　だが式には有病率 $p$ が入っている。検査だけでは的中率が決まらない。誰に対して使うかが、答えの半分を握っている。

問い：どれだけ動くのか。

2. 有病率で 0.09 から 0.99 まで動く

計算 2.1：四つの有病率で、陽性的中率を出す。

観察 2.2　有病率 $0.5$ では、的中率がちょうど $\mathbf{0.990000000000}$ である。感度・特異度と一致する。この一点だけを見ると、「精度 $=$ 的中率」に見える。

観察 2.3　有病率 $0.001$ では $\mathbf{0.090164}$ である。陽性のうち約 $9$ 割が外れ、同じ検査、同じ精度で。

観察 2.4　幅は $0.09$ から $0.99$、$11$ 倍である。検査を一つも変えずに、「精度 $99$ パーセント」という表示は、この幅を含んでいない。

観察 2.5　理由は、健康な人のほうが圧倒的に多いからである。有病率 $0.001$ なら、$1000$ 人に $1$ 人が病気で $999$ 人が健康、$1$ パーセントの偽陽性でも、$999$ 人のうち約 $10$ 人が陽性になる。

3. 直すべきは感度ではなく、特異度である

計算 3.1：的中率が $0.5$ になる有病率を、二分法と閉じた式の両方で求める。

$\mathbf{0.010000000}$ である（閉じた式 $(1-\mathrm{sp})/((1-\mathrm{sp})+\mathrm{se})$ と相対差 $10^{-9}$ 未満で一致）。

観察 3.2　有病率 $1$ パーセントが、五分五分の分かれ目である。それより低ければ、陽性は「たぶん外れ」、多くの検診が扱う病気は、この線より下にある。

計算 3.3：有病率 $0.001$ のまま、感度と特異度をそれぞれ $0.999$ に上げる。

観察 3.4　感度を上げても $0.090164$ から $0.090909$ にしかならない。$0.8$ パーセントの改善、見つけ損ないを減らしても、的中率はほとんど動かない。

観察 3.5　特異度を上げると $\mathbf{0.497738}$ へ跳ねる。$\mathbf{5.4750}$ 倍、同じ「$0.99$ を $0.999$ にする」という操作なのに、効きがまるで違う。

観察 3.6　偽陽性の数が、健康な人の数に比例するからである。健康な人が $999$ 倍多いのだから、そちらの誤りが $999$ 倍効く。分母の大きいほうを削るのが正しい。

観察 3.7　だから「見落としを減らす」という改善は、まれな病気では的中率を上げない。向きが違う。減らすべきは、健康な人を誤って拾う側である。

4. 分離子

分離子：検査の性能か、検査と有病率の組か。

観察 4.1　検査の性能なら、一つの数で表せる。感度・特異度は検査だけで決まる。カタログに載る量である。

観察 4.2　組なら、誰に使うかで変わる。$0.09$ から $0.99$ まで、同じ検査が、集団を変えるだけで別物になる。

観察 4.3　これは論文300 の基準で別根である。どちらも「検査の当たりやすさ」と呼ばれる。一方は検査の量、一方は検査と集団の組の量である。

観察 4.4　論文460 と同じ形である。そこでは暑さが気温と湿度の組で決まり、一つの数だけでは順序が決まらなかった。ここでは的中率が検査と有病率の組で決まる。

観察 4.5　論文469 とも重なる。そこでは同じ $1$ 割増の効きが起点で $9$ 倍違った。ここでは同じ「$0.99$ を $0.999$ に」が $5.47$ 倍違う。どちらも、操作の効果が状態で決まる。

観察 4.6　だから検査の性能を語るときは、対象集団を併記する。「精度 $99$ パーセント」だけでは、陽性をどう読めばよいか決まらない。同じ数が、$0.09$ とも $0.99$ とも対応する。

観察 4.7　正直に言えば、ここで扱ったのは一回の検査だけである。実際には二段階の確認検査が使われ、そこで的中率が大きく上がる。本稿はその設計を論じないが、なぜ確認検査が要るのかは、この計算が説明している。

5. 点呼と結び

1. 有病率 $0.5$ で $0.990000000000$（観察 2.2）：精度と一致。
2. 有病率 $0.001$ で $0.090164$（計算 2.1）：$9$ 割が外れ。
3. 幅は $11$ 倍（観察 2.4）：検査は同じ。
4. 健康な人が $999$ 倍多い（観察 2.5）：偽陽性が積み上がる。
5. 分かれ目は有病率 $0.010000000$（計算 3.1）：本稿の芯。
6. 閉じた式と一致（計算 3.1）：二分法と突合せ。
7. 感度を上げても $0.090909$（計算 3.3）：$0.8$ % の改善。
8. 特異度を上げると $0.497738$（計算 3.3）：$5.4750$ 倍。
9. 分離子は検査か、検査と集団の組か（観察 4.3）：論文300 の基準で別根。
10. 確認検査が要る理由（観察 4.7）：この計算が説明する。

結び：検査の精度が高ければ陽性は信じてよいと思われている。$99$ パーセント当たる検査なら $99$ パーセント正しいはずだ、と読める。だが式には有病率が入っており、検査だけでは的中率が決まらない。誰に対して使うかが、答えの半分を握っている。同じ検査の的中率が、$11$ 倍動く。有病率 $0.5$ では的中率がちょうど $\mathbf{0.990000000000}$ で感度・特異度と一致し、この一点だけを見ると「精度＝的中率」に見える。ところが有病率 $0.001$ では $\mathbf{0.090164}$、陽性のうち約 $9$ 割が外れる。同じ検査、同じ精度でである。理由は健康な人のほうが圧倒的に多いからで、有病率 $0.001$ なら $1000$ 人に $1$ 人が病気で $999$ 人が健康。$1$ パーセントの偽陽性でも、$999$ 人のうち約 $10$ 人が陽性になる。そして直すべきは、感度ではなく特異度である。的中率が $0.5$ になる有病率は $\mathbf{0.010000000}$ で、閉じた式 $(1-\mathrm{sp})/((1-\mathrm{sp})+\mathrm{se})$ と相対差 $10^{-9}$ 未満で一致する。有病率 $1$ パーセントが五分五分の分かれ目で、多くの検診が扱う病気はこの線より下にある。有病率 $0.001$ のまま感度を $0.999$ に上げても、的中率は $0.090164$ から $\mathbf{0.090909}$ へ $0.8$ パーセント動くだけである。ところが特異度を $0.999$ にすると $\mathbf{0.497738}$ へ、$\mathbf{5.4750}$ 倍に跳ねる。同じ「$0.99$ を $0.999$ にする」という操作なのに、効きがまるで違う。偽陽性の数が健康な人の数に比例するからで、健康な人が $999$ 倍多いのだからそちらの誤りが $999$ 倍効く。分母の大きいほうを削るのが正しい。だから「見落としを減らす」という改善は、まれな病気では的中率を上げない。減らすべきは、健康な人を誤って拾う側である。分けているものは一つ、検査の性能か、検査と有病率の組か。検査の性能なら一つの数で表せて、感度・特異度は検査だけで決まるカタログの量である。組なら誰に使うかで変わり、$0.09$ から $0.99$ まで動く。同じ検査が、集団を変えるだけで別物になる。論文300 の基準で別根であり、一方は検査の量、一方は検査と集団の組の量である。論文460 と同じ形で、そこでは暑さが気温と湿度の組で決まり、一つの数だけでは順序が決まらなかった。論文469 とも重なり、そこでは同じ $1$ 割増の効きが起点で $9$ 倍違った。ここでは同じ「$0.99$ を $0.999$ に」が $5.47$ 倍違う。だから検査の性能を語るときは対象集団を併記する。「精度 $99$ パーセント」だけでは、同じ数が $0.09$ とも $0.99$ とも対応してしまう。正直に言えば、ここで扱ったのは一回の検査だけである。実際には二段階の確認検査が使われ、そこで的中率が大きく上がる。本稿はその設計を論じないが、なぜ確認検査が要るのかは、この計算が説明している。

参考文献

1. Bayes, T. (1763). An Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances. Philosophical Transactions of the Royal Society.
2. Yerushalmy, J. (1947). Statistical Problems in Assessing Methods of Medical Diagnosis. Public Health Reports.
3. Gigerenzer, G., & Hoffrage, U. (1995). How to Improve Bayesian Reasoning Without Instruction. Psychological Review.
4. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
5. 山岸勇輝 (2026). 『暑さの限界は気温ではなく、湿度と組んで決まる』[論文460]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22733136
6. 山岸勇輝 (2026). 『混みぐあいを一割上げたときの待ち時間は、いまどこにいるかで決まる』[論文469]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22733401

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「精度九十九パーセントの検査でも、陽性の九割は外れることがある」［論文470］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22733434

@misc{yamagishi2026yoi470,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Test That Is Ninety-Nine Per Cent Accurate Can Be Wrong Nine Times in Ten},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/470},
  doi = {10.5281/zenodo.22733434},
  note = {Preprint, edition 1}
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