Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

閾値と最終規模は、どちらも $R_{0}$ で決まるのだから同じことを言っていると思われがちである。本稿が示すのは、二つの比が $R_{0}$ で変わることである。$\mathbf{1.7484}$ から $\mathbf{1.2413}$ まで動く。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$R_{0}=2$ の閾値は $\mathbf{0.500000}$、最終規模は $\mathbf{0.796812}$ である（第2節）。

第二に、最終規模から逆算すると $R_{0}$ に戻る。$2.000000000$ 対 $2.0$（第2節）。

第三に、$R_{0}=1$ でも $R_{0}=0.9$ でも最終規模は $\mathbf{0}$ である。境目の両側で確かめた（第2節）。

第四に、これが本稿の芯である。二つの比は $R_{0}=1.5$ で $\mathbf{1.7484}$、$R_{0}=5$ で $\mathbf{1.2413}$ と変わる（第3節）。

第五に、$R_{0}$ が大きいほど比が $1$ に寄る。どちらも $1$ へ近づくが、速さが違う（第3節）。

第六に、分離子は「線形化から出たか、非線形の方程式から出たか」である（第4節）。

キーワード：基本再生産数 R0、閾値定理、最終規模方程式、SIR 模型、感染症の数理。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。閾値定理も最終規模の方程式も標準的である。疫学の助言をしない。接種の方針、実際の $R_{0}$ の推定、介入の効果は主題ではない。二つの量の関係だけを見る。模型を一つに固定する。一様に混ざる閉じた集団の SIR 模型だけを扱う。年齢構造、空間、時間変化する接触率は入れない。歴史の優先権を判定しない。閾値の考えが誰にいつ帰属するかは扱わない。有効率を扱わない。論文401 が扱ったワクチンの有効率は入れず、免疫すべき割合そのものを見る。既刊との関係：論文401 は全員に免疫は要らないが、有効率が足りないと全員に打っても届かないと示した。そこで使われた閾値と、本稿の最終規模は別の量である。論文300 は同根か別根かが判定できると示した。同じ $R_{0}$ から出る二つの量が、別根でありうる。論文486 は三つの分野の最適点が同じ頂点だと示した。あちらは別々に見えて同根、こちらは同じに見えて別根である。論文481 は分離子が無いと反証の行き先が決まらないと示した。本稿はその分離子を一本書く。加えたのは、$R_{0}$ ごとに二つを同じ表に置いたこと、最終規模を $0.796812$ と解き逆算で確かめたこと、境目の両側を $R_{0}=1$ と $0.9$ で確かめたこと、比が $1.7484$ から $1.2413$ へ動くことを出したこと、分離子を線形化と非線形に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：一様に混ざる閉じた集団で、基本再生産数を $R_{0}$ と書く。流行が起きない条件から、免疫すべき割合は

$$p_{c}=1-\frac{1}{R_{0}}$$

である。一方、流行が終わったときに感染を経た割合 $z$ は

$$z=1-e^{-R_{0}z}$$

の正の解である。前者は感染者が少ないときの線形化から、後者は流行の全体を通した収支から出る。以下、$R_{0}$ を動かして二つを並べる。

観察 1.1　閾値と最終規模は、どちらも $R_{0}$ で決まる。同じ一つの数から出る。だから同じことを言っている、という像である。

観察 1.2　だが式の形が違う。$1-1/R_{0}$ と $z=1-e^{-R_{0}z}$、片方は閉じた式、片方は自分自身を含む方程式である。

問い：二つはどれだけ離れ、その離れ方は一定か。

2. 二つを並べる

計算 2.1：$R_{0}$ ごとに閾値と最終規模を出す。

観察 2.2　$R_{0}=2$ の最終規模が既知の値に合う。$0.796812$、よく引かれる約 $80$ パーセントと一致する。

観察 2.3　逆算すると $R_{0}$ に戻る。$-\ln(1-z)/z=2.000000000$ 対 $2.0$、独立な確認である。

観察 2.4　$R_{0}=1$ で最終規模がゼロになる。境目、閾値もゼロで、二つがそこで一致する。

観察 2.5　$R_{0}=0.9$ でもゼロである。境目の反対側、閾値の式は負を返すので $0$ で切っており、最終規模はもともと正の解を持たない。

観察 2.6　閾値より最終規模のほうが大きい。$0.796812 > 0.500000$、流行が止まるのは、閾値を超えた「あと」だからである。

3. 比が一定にならない

計算 3.1：最終規模を閾値で割る。

観察 3.2　比が $R_{0}$ で変わる。$1.7484$ から $1.2413$、もし二つが同じ量の別表現なら、比は一定になるはずである。

観察 3.3　$R_{0}$ が大きいほど比が $1$ に寄る。$1.2413$、どちらも $1$ へ近づくが、閾値のほうが遅い。

観察 3.4　だから「閾値を知れば最終規模も分かる」は、比例では書けない。$R_{0}$ を経由する必要がある。二つの間に、$R_{0}$ に依らない関係は無い。

観察 3.5　差は「オーバーシュート」と呼ばれる。$R_{0}=2$ で $0.796812-0.500000=0.296812$、閾値に達した時点で流行が止まらず、行き過ぎる分である。

4. 分離子

分離子：線形化から出たか、非線形の方程式から出たか。

観察 4.1　線形化から出たなら、閉じた式で書ける。$1-1/R_{0}$、感染者が少ない時点だけを見ており、その後の経過を含まない。

観察 4.2　非線形の方程式から出たなら、自分自身を含む。$z=1-e^{-R_{0}z}$、流行の全体を通した収支であり、数値でしか解けない。

観察 4.3　二つは論文300 の基準で別根である。どちらも $R_{0}$ から出る。一方は流行が始まるかどうかの条件、一方は始まったあとの結果で、問うている時点が違う。

観察 4.4　比が動くことが、その証拠になっている。$1.7484$ から $1.2413$、同根なら、$R_{0}$ に依らない換算があるはずである。

観察 4.5　論文401 は閾値の側だけを使った。全員に免疫は要らない。そこで効いていたのは $1-1/R_{0}$ であって、最終規模ではない。

観察 4.6　論文486 とは向きが逆である。あちらは別々に見えて同根、こちらは同じに見えて別根である。同じ判定が、両向きに使える。

観察 4.7　正直に言えば、模型は一様に混ざる閉じた集団である。年齢構造も空間も接触率の変化も入れていない。実際の流行では最終規模はこれより小さくなることが多く、$0.796812$ は上限に近い値である。示したのは二つの量の関係であって、予測ではない。

5. 点呼と結び

1. $R_{0}=2$ で閾値 $0.500000$（計算 2.1）：最終規模 $0.796812$。
2. 既知の約 $80$ パーセントと一致（観察 2.2）：独立な確認。
3. 逆算で $2.000000000$（観察 2.3）：$R_{0}$ に戻る。
4. $R_{0}=1$ でも $0.9$ でもゼロ（観察 2.5）：境目の両側。
5. 比が $1.7484$ から $1.2413$（計算 3.1）：本稿の芯。
6. $R_{0}$ が大きいほど $1$ に寄る（観察 3.3）：閾値のほうが遅い。
7. 差は $0.296812$（観察 3.5）：行き過ぎる分。
8. 分離子は線形化か非線形か（観察 4.3）：論文300 の基準で別根。
9. 論文486 とは向きが逆（観察 4.6）：同じ判定が両向きに使える。
10. 一様に混ざる模型である（観察 4.7）：予測ではない。

結び：閾値と最終規模は、どちらも $R_{0}$ で決まる。同じ一つの数から出るのだから同じことを言っている、という像である。だが式の形が違う。$1-1/R_{0}$ と $z=1-e^{-R_{0}z}$ で、片方は閉じた式、片方は自分自身を含む方程式である。二つを並べる。$R_{0}=2$ で閾値は $\mathbf{0.500000}$、最終規模は $\mathbf{0.796812}$ で、よく引かれる約 $80$ パーセントと一致する。最終規模から $-\ln(1-z)/z$ を計算すると $2.000000000$ となり、$R_{0}$ に戻る。$R_{0}=1$ では最終規模も閾値もゼロで、そこで二つが一致する。$R_{0}=0.9$ でもゼロで、閾値の式は負を返すので $0$ で切っており、最終規模はもともと正の解を持たない。そして閾値より最終規模のほうが大きい。流行が止まるのは、閾値を超えた「あと」だからである。比が一定にならない。最終規模を閾値で割ると、$R_{0}=1.5$ で $\mathbf{1.7484}$、$2.0$ で $1.5936$、$3.0$ で $1.4107$、$5.0$ で $\mathbf{1.2413}$ となる。もし二つが同じ量の別表現なら、比は一定になるはずである。$R_{0}$ が大きいほど比は $1$ に寄るが、どちらも $1$ へ近づくなかで閾値のほうが遅い。だから「閾値を知れば最終規模も分かる」は比例では書けず、$R_{0}$ を経由する必要がある。二つの間に $R_{0}$ に依らない関係は無い。差は $R_{0}=2$ で $0.796812-0.500000=0.296812$、閾値に達した時点で流行が止まらず行き過ぎる分である。分けているものは一つ、線形化から出たか、非線形の方程式から出たか。線形化から出たなら閉じた式で書け、$1-1/R_{0}$ は感染者が少ない時点だけを見ていて、その後の経過を含まない。非線形の方程式から出たなら自分自身を含み、$z=1-e^{-R_{0}z}$ は流行の全体を通した収支で、数値でしか解けない。二つは論文300 の基準で別根であり、どちらも $R_{0}$ から出るが、一方は流行が始まるかどうかの条件、一方は始まったあとの結果で、問うている時点が違う。比が $1.7484$ から $1.2413$ へ動くことが、その証拠になっている。同根なら、$R_{0}$ に依らない換算があるはずである。論文401 は閾値の側だけを使い、そこで効いていたのは $1-1/R_{0}$ であって最終規模ではない。論文486 とは向きが逆で、あちらは別々に見えて同根、こちらは同じに見えて別根である。同じ判定が両向きに使える。正直に言えば、模型は一様に混ざる閉じた集団である。年齢構造も空間も接触率の変化も入れておらず、実際の流行では最終規模はこれより小さくなることが多い。$0.796812$ は上限に近い値であり、示したのは二つの量の関係であって予測ではない。

参考文献

1. Diekmann, O., Heesterbeek, H., & Britton, T. (2013). Mathematical Tools for Understanding Infectious Disease Dynamics. Princeton University Press.
2. Kermack, W. O., & McKendrick, A. G. (1927). A Contribution to the Mathematical Theory of Epidemics. Proceedings of the Royal Society A.
3. Ross, R. (1911). The Prevention of Malaria (2nd ed.). John Murray.
4. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
5. 山岸勇輝 (2026). 『全員に免疫は要らない。ただし有効率が足りないと、全員に打っても届かない』[論文401]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699375
6. 山岸勇輝 (2026). 『「法則が破れた」は、どの仮定へも落とせる』[論文481]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22733927
7. 山岸勇輝 (2026). 『三つの分野に出る「ちょうど半分」は、物理ではなく二次関数の頂点である』[論文486]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22759952

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「閾値と最終規模は、同じ R_0 から出るのに、比が一定にならない」［論文511］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22862074

@misc{yamagishi2026yoi511,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Threshold and the Final Size Both Come from R₀, and Their Ratio Is Not Constant},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/511},
  doi = {10.5281/zenodo.22862074},
  note = {Preprint, edition 1}
}