Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

曲面の三角形は、曲面の道具で解くほかないと思われている。本稿が示すのは、余りを三等分して引けば平面の道具で足りることである。残る誤差は過剰の二乗で増え、実用の範囲では消える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、球面過剰は面積に比例する。$100$ km$^{2}$ で $\mathbf{0.508171}$ 秒角、$10^{4}$ 倍の面積で $10^{4}$ 倍（第2節）。

第二に、$100$ 万 km$^{2}$ の球面過剰は $\mathbf{1.411586}$ 度である（第2節）。

第三に、逆算すると面積に戻る。$1000000.000000$ 対 $1000000$（第2節）。

第四に、これが本稿の芯である。三等分して引いたあとの残差は、面積を $100$ 倍にすると $\mathbf{10000.000000}$ 倍になる。過剰の二乗で増える（第3節）。

第五に、$100$ 万 km$^{2}$ でも残差は過剰の $\mathbf{4.106\times10^{-4}}$ で、$100$ km$^{2}$ では $\mathbf{4.106\times10^{-8}}$ である（第3節）。

第六に、分離子は「余りを均すか、曲面のまま解くか」である（第4節）。

キーワード：球面過剰、ルジャンドルの定理、球面三角形、測地学、三角測量。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。球面過剰の公式もルジャンドルの定理も標準的である。測地学を作らない。地球の扁平、測量の誤差、実際の三角測量の手順は主題ではない。球面の三角形だけを見る。二次の係数を導かない。残差の係数は既知の値を使っており、本稿で導いてはいない。角そのものを解かない。三角形の辺や角を実際に解いてはおらず、近似の残差の大きさだけを見る。球以外を扱わない。回転楕円体では過剰の式が変わるが、そこには立ち入らない。既刊との関係：論文409 は歪まない地図が存在しないと示し、$100$ 万 km$^{2}$ で $1.4113$ 度余ると出した。本稿はその余りを、どう処理すれば消えるかを見る。論文224 はどこを触っても平らで、合計は $4\pi$ だと示した。余りが局所では小さく、大域では消えないという同じ形である。論文300 は同根か別根かが判定できると示した。均す解き方と曲面のまま解く解き方は別根である。論文481 は分離子が無いと反証の行き先が決まらないと示した。本稿はその分離子を一本書く。加えたのは、球面過剰を三つの面積で出したこと、逆算で面積に戻ることを確かめたこと、残差が二乗で増えることを $10000.000000$ 倍で示したこと、残差と過剰の比を $4.106\times10^{-4}$ と $4.106\times10^{-8}$ で出したこと、分離子を近似の作法に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：半径 $R$ の球面上で、面積 $A$ の三角形を取る。三つの内角の和は $\pi$ を超え、その超過は

$$\varepsilon=\frac{A}{R^{2}}$$

である。ルジャンドルの定理は、各角から $\varepsilon/3$ を引いて、同じ辺の長さを持つ平面の三角形として解いてよいと言う。以下 $R=6371$ km として、過剰と、その処理のあとに残る誤差を測る。

観察 1.1　曲面の三角形は、曲面の道具で解くほかないと思われている。球面三角法、平面の公式は使えない、という像である。

観察 1.2　だが超過は面積に比例するだけで、三つの角に散らばっていない。一つの数 $\varepsilon$、それを均せば、平面に持ち込めるかもしれない。

問い：均したあと、どれだけ残るのか。

2. 過剰は面積に比例する

計算 2.1：三つの面積で球面過剰を出す。

観察 2.2　$100$ 万 km$^{2}$ で $1.411586$ 度になる。$1.4$ 度、三角形の内角の和が $181.4$ 度あるということである。

観察 2.3　面積に比例する。$10^{4}$ 倍の面積で $10000.000000$ 倍、閉じた式が線形であることの確認である。

観察 2.4　逆算すると面積に戻る。$1000000.000000$ 対 $1000000$、独立な確認である。

観察 2.5　$100$ km$^{2}$ では $0.508171$ 秒角しかない。一辺 $15$ km ほどの三角形、十九世紀の測量でも測れる大きさだが、無視できるほどではない。

3. 三等分して引くと、二乗しか残らない

計算 3.1：各角から $\varepsilon/3$ を引いて平面で解いたときの、残る誤差を出す。

観察 3.2　残差が過剰の二乗で増える。面積を $100$ 倍にすると残差が $10000.000000$ 倍、過剰は $100$ 倍にしかならないので、比は $100$ 倍で悪くなる。

観察 3.3　それでも $100$ 万 km$^{2}$ で比が $4.106\times10^{-4}$ である。過剰の $2400$ 分の $1$ 以下、一度均せば、残りは実用の範囲で消える。

観察 3.4　$100$ km$^{2}$ では比が $4.106\times10^{-8}$ である。$4$ 桁小さい。境目の反対側であり、小さい三角形ほど良い。

観察 3.5　だから近似の質は面積で決まる。形でも位置でもない。どこに置いた三角形でも、面積が同じなら同じだけ残る。

観察 3.6　三等分が効いているのは、一次の項をちょうど消すからである。三つの角に等しく配る。均さずに一つの角だけから引けば、一次の項が残る。

4. 分離子

分離子：余りを均して平面に持ち込むか、曲面のまま解くか。

観察 4.1　均すなら、平面の道具で足りる。正弦定理も余弦定理も、平面の形、代わりに二次の誤差を負う。

観察 4.2　曲面のまま解くなら、誤差は無い。球面三角法、代わりに道具が違う。

観察 4.3　二つは論文300 の基準で別根である。どちらも「三角形を解く」。一方は近似で誤差を持ち、一方は厳密である。誤差の有無が判定になる。

観察 4.4　論文409 が出した余りは、この過剰である。$100$ 万 km$^{2}$ で $1.4113$ 度、本稿の $1.411586$ 度と同じ量で、あちらは「消えない」ことを、こちらは「均せる」ことを見ている。

観察 4.5　論文224 とも同じ形である。どこを触っても平らで、合計は $4\pi$、局所では余りが小さく、大域では消えない。三等分は、その小ささを使う道具である。

観察 4.6　これは論文481 でいう分離子の一本である。「平面で計算したら合わなかった」という報告が来たとき、均し忘れたのか、三角形が大きすぎたのかで、直す先が違う。

観察 4.7　正直に言えば、二次の係数は既知の値を使った。$\varepsilon^{2}/60$、本稿では導いていない。示したのは残差が二乗で増えることと、その大きさが面積で決まることであって、係数そのものの検証ではない。

5. 点呼と結び

1. $100$ km$^{2}$ で $0.508171$ 秒角（計算 2.1）：測れる大きさ。
2. $100$ 万 km$^{2}$ で $1.411586$ 度（観察 2.2）：内角の和が $181.4$ 度。
3. 面積に比例する（観察 2.3）：$10000.000000$ 倍。
4. 逆算で面積に戻る（観察 2.4）：独立な確認。
5. 残差が二乗で増える（観察 3.2）：本稿の芯。
6. $100$ 万 km$^{2}$ で比 $4.106\times10^{-4}$（計算 3.1）：$2400$ 分の $1$ 以下。
7. $100$ km$^{2}$ で $4.106\times10^{-8}$（観察 3.4）：$4$ 桁小さい。
8. 三等分が一次の項を消す（観察 3.6）：均すことが効いている。
9. 分離子は均すか曲面のままか（観察 4.3）：論文300 の基準で別根。
10. 二次の係数は借りた（観察 4.7）：導いてはいない。

結び：曲面の三角形は、曲面の道具で解くほかないと思われている。球面三角法があり、平面の公式は使えないという像である。だが超過は面積に比例するだけで、三つの角に散らばってはいない。一つの数 $\varepsilon$ であり、それを均せば平面に持ち込めるかもしれない。過剰は面積に比例する。$R=6371$ km で、球面過剰は $100$ km$^{2}$ で $\mathbf{0.508171}$ 秒角、$10^{4}$ km$^{2}$ で $50.817105$ 秒角、$10^{6}$ km$^{2}$ で $5081.710534$ 秒角である。$100$ 万 km$^{2}$ では $\mathbf{1.411586}$ 度、つまり三角形の内角の和が $181.4$ 度あるということである。面積に比例し、$10^{4}$ 倍の面積で $10000.000000$ 倍になる。逆算すると $1000000.000000$ と面積に戻る。$100$ km$^{2}$ でも $0.508171$ 秒角あり、一辺 $15$ km ほどの三角形は十九世紀の測量でも測れる大きさだが、無視できるほどではない。三等分して引くと、二乗しか残らない。各角から $\varepsilon/3$ を引いて平面で解くと、残る誤差は $100$ km$^{2}$ で $1.011622\times10^{-13}$、$10^{6}$ km$^{2}$ で $1.011622\times10^{-5}$ である。面積を $100$ 倍にすると残差は $\mathbf{10000.000000}$ 倍になり、過剰は $100$ 倍にしかならないので、比は $100$ 倍で悪くなる。それでも $100$ 万 km$^{2}$ で比は $\mathbf{4.106\times10^{-4}}$、過剰の $2400$ 分の $1$ 以下で、一度均せば残りは実用の範囲で消える。$100$ km$^{2}$ では比が $\mathbf{4.106\times10^{-8}}$ と $4$ 桁小さい。だから近似の質は面積で決まり、形でも位置でもない。どこに置いた三角形でも、面積が同じなら同じだけ残る。三等分が効いているのは一次の項をちょうど消すからで、均さずに一つの角だけから引けば一次の項が残る。分けているものは一つ、余りを均して平面に持ち込むか、曲面のまま解くか。均すなら平面の道具で足り、正弦定理も余弦定理も平面の形が使えるが、代わりに二次の誤差を負う。曲面のまま解くなら誤差は無いが、代わりに道具が違う。二つは論文300 の基準で別根であり、どちらも「三角形を解く」だが、一方は近似で誤差を持ち、一方は厳密である。誤差の有無が判定になる。論文409 が出した余りはこの過剰そのもので、$100$ 万 km$^{2}$ で $1.4113$ 度、本稿の $1.411586$ 度と同じ量である。あちらは「消えない」ことを、こちらは「均せる」ことを見ている。論文224 とも同じ形で、どこを触っても平らで合計は $4\pi$、局所では余りが小さく、大域では消えない。三等分は、その小ささを使う道具である。これは論文481 でいう分離子の一本で、「平面で計算したら合わなかった」という報告が来たとき、均し忘れたのか三角形が大きすぎたのかで直す先が違う。正直に言えば、二次の係数 $\varepsilon^{2}/60$ は既知の値を使っており、本稿では導いていない。示したのは残差が二乗で増えることと、その大きさが面積で決まることであって、係数そのものの検証ではない。

参考文献

1. Gauss, C. F. (1828). Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas. Dieterich, Göttingen.
2. Legendre, A.-M. (1787). Mémoire sur les opérations trigonométriques dont les résultats dépendent de la figure de la terre. Mémoires de l’Académie Royale des Sciences.
3. Torge, W., & Müller, J. (2012). Geodesy (4th ed.). De Gruyter.
4. 山岸勇輝 (2026). 『どこを触っても平らで、それでも合計は $4\pi$ である』[論文224]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22120836
5. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
6. 山岸勇輝 (2026). 『歪まない地図は存在しない。投影法が下手だからではない』[論文409]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22699616
7. 山岸勇輝 (2026). 『「法則が破れた」は、どの仮定へも落とせる』[論文481]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22733927

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「余りを三等分して引くと、曲面の問題が平面の問題に化ける」［論文512］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22862145

@misc{yamagishi2026yoi512,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Split the Surplus Three Ways and a Curved Problem Becomes a Flat One},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/512},
  doi = {10.5281/zenodo.22862145},
  note = {Preprint, edition 1}
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