Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

ルジャンドル記号 $(d\mid p)$ の定義は「$d$ を $p$ で割った余りが平方数か」を問う。ところが相互法則の答は、$p$ を別の数で割った余りだけで決まる。本稿はその「別の数」を全数探索で測り、それが判別式であることを確かめ、二つの補充則の $4$ と $8$ が同根であることを示す。新しい数学定理は主張しない。ガウス以来の標準的内容である。

第一に、法則そのものを定義から検算した。$300$ 未満の奇素数の全対 $1830$ 組で $(p\mid q)(q\mid p)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}}$ は破れゼロ、二つの補充則も破れゼロである（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。$20000$ 未満の素数について、$(d\mid p)$ が $p \bmod m$ だけで決まるような最小の $m$ を全数探索で測った。十六個の $d$ すべてで、最小の $m$ はちょうど $|\mathrm{disc}(d)|$ に一致した（第3節）。

第三に、分離子は $d \bmod 4$ である。$4|d|$ は常に周期だが、最小とは限らない。$d\equiv 1 \pmod 4$ のとき真の法はその四分の一である（$d=5$ で $20$ ではなく $5$、$d=13$ で $52$ ではなく $13$）。法は都合で選ばれた数ではなく、強制された数である（第4節）。

第四に、第一補充則の $4$ と第二補充則の $8$ は、二つの理由ではなく一つである。どちらも $|\mathrm{disc}|$ であり、$d=-1$ で $4$、$d=2$ で $8$、$d=-2$ で $8$ になる（測定値）。本体系は根を分けることが多いが、ここでは分かれて見えていた二つを束ねる（第5節）。

第五に、それでも法則は根を与えない。相互法則は $p=10^9+7$ で $5$ 手で可否を答えるが、平方根そのものは $30$ 手を要し、しかもトネリ＝シャンクスは非剰余を一つ見つけるところから始まる。個数は定理が言い、一つを名指すのは探索である（第6節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理は主張しない。平方剰余の相互法則、判別式が導手であること、ディリクレ指標としての定式化は、いずれも標準的である。また本稿は法則を証明しない。示すのは測定であって証明ではない。加えたのは最小の周期を全数探索で測り、判別式と一致することを確かめたこと、$4|d|$ が四倍過剰になる場合を分離子つきで示したこと、二つの補充則の $4$ と $8$ を同根と確認したことである。同根の確認は本体系では稀で、論文31・論文142 に次いで三度目にあたる。

1. 記法と位置づけ

奇素数 $p$ と $p$ で割れない整数 $d$ に対し、ルジャンドル記号 $(d\mid p)$ を、$d$ が $p$ を法として平方剰余なら $+1$、そうでなければ $-1$ と定める。平方因子を持たない $d$ の判別式を、$d\equiv 1\pmod 4$ のとき $\mathrm{disc}(d)=d$、それ以外のとき $\mathrm{disc}(d)=4d$ と書く。本稿の記号はすべてオイラーの規準 $(d\mid p)\equiv d^{(p-1)/2} \pmod p$ で計算した。相互法則を一度も使わずに、である。

位置づけ：論文86 は量が「決まっている」ことの四つの根を点呼し、論文147 は$4\pi$ が次元ではなく周期であると書いた。本稿の法もまた周期であり、そして選ばれていない。

2. 法則そのものを、定義から検算する

検算 2.1：$300$ 未満のすべての奇素数の対について、記号をオイラーの規準で計算し、法則の両辺を比べた。

（証明終）

観察 2.2　ここで、定義が何を見ているかに注意したい。$(d\mid p)$ の定義は「$d$ を $p$ で割った余り」を見る。$p$ を何かで割る、という操作は定義のどこにも現れない。ところが上の右辺は、$p$ を $4$ で割った余りと $q$ を $4$ で割った余りだけで書かれている。

3. 芯：最小の周期を測る

検算 3.1：平方因子を持たない各 $d$ について、$20000$ 未満の素数 $p$（$2$ と $d$ を割るものを除く）の記号をすべて計算し、$(d\mid p)$ が $p \bmod m$ だけで決まるような最小の $m$ を、$m=1$ から順に全数探索した。

十六個すべてで、最小の $m$ は $|\mathrm{disc}(d)|$ にちょうど一致した。（証明終）

観察 3.2　定義は $d$ を $p$ で割り、定理は $p$ を判別式で割る。定義のどこにも、答が $p$ について周期的であるべき理由は書かれていない。相互法則とは、この周期性の主張である。どちらの側で割るかが入れ替わること、それが「相互」という語の指しているものである。

観察 3.3　周期があること自体が、法則の中身である。周期の値は、その次に来る問いにすぎない。

4. 分離子は $d \bmod 4$ である

検算 4.1：上の表から、$4|d|$ と最小の $m$ の比を取る。

（証明終）

観察 4.2　$4|d|$ は常に周期である。だが最小とは限らない。$d\equiv 1\pmod 4$ のときだけ、真の法はその四分の一に落ちる。動かすと動くものは $d \bmod 4$ であって、$d$ の大きさでも符号でもない。

観察 4.3　したがって法は「都合よく選ばれた数」ではない。$4$ を掛けるかどうかを決めているのは $d \bmod 4$ であり、そこに選択の余地はない。論文95 の言葉でいえば、これは規約ではなく事実の側にある。

5. $4$ と $8$ は、二つの理由ではなく一つである

観察 5.1　第一補充則は $p \bmod 4$ についての主張であり、第二補充則は $p \bmod 8$ についての主張である。二つの違う数が、二つの違う理由で現れているように見える。

検算 5.2：測定値を並べる。

さらに $20000$ 未満のすべての奇素数で $(2\mid p)$ を $p\bmod 8$ ごとに集めると、$p\equiv 1,7$ では常に $+1$、$p\equiv 3,5$ では常に $-1$ であり、一つの類の中で値が割れた例は一つもなかった。（証明終）

観察 5.3　$4$ と $8$ は同根である。どちらも $|\mathrm{disc}|$ であり、違うのは $d$ の値だけである。二つの補充則は二つの定理ではなく、一つの主張を $d=-1$ と $d=2$ で読んだものである。

観察 5.4　本体系は「一語・別根」を言うことが多い。ここではその逆をしている。別々に見えていた二つの数に、一つの住所を与えた。論文31 が立体角の $\pi$ とガウス積分の $\pi$ を同根と確かめ、論文142 がウンルーとホーキングの $2\pi$ を同根と確かめたのに続いて、これが三度目である。

6. それでも、法則は根を与えない

検算 6.1：相互法則によるヤコビ記号の計算（べき乗を一度も使わない）と、トネリ＝シャンクスによる平方根の構成を、同じ素数で並べる。

いずれも $x^2\equiv a \pmod p$ を満たすことを確かめた。（証明終）

観察 6.2　隔たりは手数だけではない。トネリ＝シャンクスは、まず非剰余を一つ見つけるところから始まる。そして $2,3,5,\dots$ と順に試す以外の方法を持たない。

検算 6.3：$1$ から $199$ までに非剰余がいくつあるかを数える。

（証明終）

観察 6.4　個数は定理が言う。非零の $p-1$ 類のうちちょうど半数が非剰余である。だが定理はそのうちの一つも名指さない。数えるのは定理であり、一つ産むのは探索である。最小の非剰余を決定的に多項式時間で出す方法は知られていない。

観察 6.5　論文163 が「良い符号が在る」と「これが良い符号だ」を分けたのと同じ形である。相互法則は「在るか」に答え、「どれか」には答えない。論文25 が「解けない」を三つに分けたときと同じく、ここでも許した道具が分離子になっている。

7. 点呼

観察 7.1　

観察 7.2　定義と定理は違うものを見ている。補充則の $4$ と $8$ は一つの根であり、法は選ばれていない。そして可否を知ることと、根を持つことは、最後まで別のままである。

8. 結論

1. 法則と二つの補充則を定義から検算した（検算2.1）：$1830$ 対、破れ $0$。
2. 最小の周期は判別式である（検算3.1）：十六個の $d$ すべてで $m=|\mathrm{disc}(d)|$。
3. 分離子は $d \bmod 4$（検算4.1）：$d\equiv 1$ のとき $4|d|$ は四倍過剰。
4. 補充則の $4$ と $8$ は同根（検算5.2）：どちらも $|\mathrm{disc}|$。
5. 法則は根を与えない（検算6.1・6.3）：$5$ 手対 $30$ 手、そして非剰余は探索でしか出てこない。

結び：定義は $d$ を $p$ で割る。定理は $p$ を判別式で割る。割る向きが入れ替わることに驚けるかどうかが、この法則を読めたかどうかの分かれ目であり、$4$ と $8$ という二つの数が実は一つだったことは、その驚きのささやかな配当である。

参考文献

1. Gauss, C. F. (1801). Disquisitiones Arithmeticae. Leipzig: Gerhard Fleischer.
2. Legendre, A.-M. (1798). Essai sur la théorie des nombres. Paris: Duprat.
3. Dirichlet, P. G. L. (1837). Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält. Abhandlungen der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften.
4. Tonelli, A. (1891). Bemerkung über die Auflösung quadratischer Congruenzen. Göttinger Nachrichten.
5. Shanks, D. (1973). Five number-theoretic algorithms. Proceedings of the Second Manitoba Conference on Numerical Mathematics.
6. Ireland, K., & Rosen, M. (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory (2nd ed.). New York: Springer.
7. 山岸勇輝 (2026). 等号にも別根がある [論文16] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600471
8. 山岸勇輝 (2026). 「解けない」は三つの別根を持つ [論文25]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22090297
9. 山岸勇輝 (2026). 次元を持たない $\pi$ [論文31]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22090430
10. 山岸勇輝 (2026). 必然性の四つの根 [論文86]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21744839
11. 山岸勇輝 (2026). 規約と事実を分ける [論文95]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758621
12. 山岸勇輝 (2026). 動かすと、$2\pi$ だけが残る [論文142]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22082281
13. 山岸勇輝 (2026). 同じ $H^2$ でも、係数が違えば量子化しない [論文147]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22083144
14. 山岸勇輝 (2026). 同じ指標表を持ちながら、同型でない [論文152]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22084202
15. 山岸勇輝 (2026). 「良い符号が在る」と「これが良い符号だ」は、別の文である [論文163]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22092677
16. 山岸勇輝 (2026). 「等価原理」は三つある [論文165]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22092957

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「定義は d を p で割り、定理は p を判別式で割る」［論文166］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22093052

@misc{yamagishi2026yoi166,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Definition Divides d by p; the Theorem Divides p by the Discriminant},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/166},
  doi = {10.5281/zenodo.22093052},
  note = {Preprint, edition 1}
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