Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

論文111 は光が計量の十成分のうち九つしか決めないことを書き、論文150 はその残る一つが密度であると突き止めた。では、幾何の側からその一つを決められるか。山辺の定理は「共形類の中にスカラー曲率が定数の計量が存在する」と言う。本稿はその定理に、決められることと決められないことを書き分けさせる。新しい数学定理は主張しない。

第一に、共形ラプラシアンは共形共変である。平坦計量を $u^{4/(n-2)}$ 倍したときのスカラー曲率が $-\frac{4(n-1)}{n-2}u^{-(n+2)/(n-2)}\Delta u$ に一致することを、記号計算で恒等的にゼロまで確かめた（$n=3,\dots,7$ でも個別に確認）（第2節）。

第二に、指数は臨界指数であり、$n=2$ は問題の外にある。非線形項の指数 $\frac{n+2}{n-2}$ はソボレフ埋め込みが緊密性を失うちょうどその位置にある。$n=2$ では分母が消え、これは別の問題（ガウス＝ボンネ）になる（第3節）。

第三に、球面の山辺不変量の中に、体系の二つの数が座っている。$\mathrm{Vol}(S^n)$ は $n=2$ で $4\pi$、$n=3$ で $2\pi^2$ である。後者は論文46 が「$16\pi^2$ のうち唯一の幾何」と同定した $\Omega_3$ そのものである（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。定曲率を課しても、密度は決まらない。球面上の解は族をなす。$u_\lambda=(\lambda/(\lambda^2+r^2))^{(n-2)/2}$ から作る計量のスカラー曲率は、$n=3,4,5,6$ でそれぞれ 24, 48, 80, 120 という定数になり、$r$ にも $\lambda$ にも依らない（本稿で計算）。$\lambda$ を動かせば計量は動くのに、曲率は動かない（第5節）。

第五に、柵は山辺不変量の符号である。負またはゼロなら解は定数倍を除いて一意、正なら一意とは限らない（球面が実例）。分離子は「球面かどうか」ではなく、不変量の符号である（第6節）。そして山辺は一人で二つの定理を持つ、論文90 のグリーソン＝ヤマベと、本稿の山辺問題である（第7節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理は主張しない。共形ラプラシアンの共変性、山辺問題（山辺1960、トゥルーディンガー1968、オーバン1976、シェーン1984）、オーバン＝タレンティの解の族、一意性が不変量の符号で決まることはいずれも標準的である。本稿が加えるのは、論文150 が「外から持ち込むしかない」と書いた一成分に、幾何の側から何ができるかを書いたこと、「決まらない」ことを $\lambda$ が消える計算で示したこと、柵が不変量の符号であると書いたこと、「ヤマベ」が一人二定理であると点呼したことだけである。

1. 記法と位置づけ

$n$ 次元多様体 $(M,g)$ のスカラー曲率を $R_g$、共形ラプラシアンを
$L_g=-\frac{4(n-1)}{n-2}\Delta_g+R_g$ と書く（$n\ge3$）。共形変換を $\tilde g=u^{4/(n-2)}g$、$u>0$ と書く。

位置づけ：論文111 が「光は九つまで」と書き、論文150 がその残る一つを密度と同定した。本稿はその一つに、曲率の側から手を伸ばす。そして届かないところに線を引く。

2. 共形ラプラシアンは共形共変である

検算 2.1：平坦計量を $u^{4/(n-2)}$ 倍したときのスカラー曲率を、共形変換の標準公式から書き下すと

さらに $n=3,4,5,6,7$ について個別に差を計算し、すべて $0$ を得た。（証明終）

観察 2.2　したがって $R_{\tilde g}=u^{-(n+2)/(n-2)}L_g u$ である。$-1-\frac{4}{n-2}=-\frac{n+2}{n-2}$ という指数の一致が、共変性の中身である。

3. 指数は臨界指数であり、$n=2$ は外にある

検算 3.1

（証明終）

観察 3.2　非線形項の指数は、ソボレフ埋め込みが緊密性を失うちょうどその位置にある。難しさは技術的な偶然ではなく、指数がそこにあることの帰結である。そして球面が特別に振る舞う理由も、そこにある。

4. 球面の山辺不変量に、体系の二つの数が座っている

検算 4.1：$\mathrm{Vol}(S^n)=2\pi^{(n+1)/2}/\Gamma(\frac{n+1}{2})$、$Y(S^n)=n(n-1)\mathrm{Vol}(S^n)^{2/n}$ とすると

（証明終）

観察 4.2　$n=3$ の体積は $2\pi^2$ である。論文46 が「$16\pi^2$ のうち、幾何なのは $\Omega_3=2\pi^2$ だけである」と同定した、まさにその数である。体系が場の量子論の測度の中に見つけた幾何が、ここでは山辺不変量の中に座っている。

観察 4.3 （住所を書く）　ただし同じ数が現れることは、同じ根を持つことではない（論文100・142）。片方は四次元運動量空間の測度、片方は三次元球面の体積である。共通しているのは「単位三次元球面の体積」という一点であり、それは偶然ではなく同じ幾何量だが、使われ方は別である。

5. 定曲率を課しても、密度は決まらない

検算 5.1：平坦空間上に $u_\lambda(r)=\left(\dfrac{\lambda}{\lambda^2+r^2}\right)^{(n-2)/2}$ を取り、計量を $u_\lambda^{4/(n-2)}\delta$ とすると

（証明終） いずれも半径 $\tfrac12$ の球面に対応する定数である。

観察 5.2 （これが本稿の芯である）　族のどの一つを取っても、スカラー曲率は同じ定数である。$\lambda$ は答から消えている。$\lambda$ を動かせば計量は動く（体積も距離も変わる）のに、曲率は動かない。

観察 5.3　したがって「スカラー曲率を定数にせよ」という要求は、密度を一つに選ばない。光が残した一成分（論文150）に、曲率は制約を与えるが、値を与えない。

検算 5.4（族の大きさ）：球面の共形群を等長変換で割った自由度は

すなわち $n$ 次元球面では $n+1$ 個の径数が残る。（証明終）

6. 柵は、山辺不変量の符号である

観察 6.1　

観察 6.2　分離子は「球面かどうか」ではない。山辺不変量の符号である。負またはゼロなら、曲率一定という要求は密度を本当に決めてしまう。正のときにだけ、決めきらない。

観察 6.3 （論文150 への差し戻し）　論文150 は「体積の基準は外から持ち込むしかない」と書いた。本稿はそれを半分だけ訂正する。不変量が正でない共形類では、幾何が持ち込んでくれる。正のときには、やはり外から持ち込むしかない。

7. 一人が二つの定理を持つ

観察 7.1　

観察 7.2　同じ人の、互いに無関係な二つの定理である。論文125 がホップについて見つけたのと同じ形（一人二定理）。「ヤマベの定理」と書くだけでは住所にならない（論文17）。

観察 7.3 （証明が物理を要した）　山辺問題の残った場合を閉じたのはシェーン（1984）であり、そこで使われたのは一般相対論の正質量定理であった。幾何の問題が、物理由来の定理に依存して解けた。王道どうしが交差した実例である（論文100）。

8. 結論

1. 共形ラプラシアンは共形共変である（検算2.1）。差は恒等的にゼロ。
2. 指数は臨界指数であり、$n=2$ は外にある（検算3.1）。
3. 球面の体積に $4\pi$ と $2\pi^2$ が座っている（検算4.1）。後者は論文46 の $\Omega_3$ そのもの。
4. 定曲率を課しても密度は決まらない（検算5.1）。$\lambda$ が答から消える。
5. 柵は山辺不変量の符号である（観察6.1）。正でなければ決まる。
6. ヤマベは一人で二つの定理を持つ（観察7.1）。そして証明は正質量定理を要した（観察7.3）。

結び：光は共形類までしか教えず、残る一つを置いていった。曲率にそれを拾わせようとすると、拾える場合と拾えない場合がある。分けているのは、多様体の名前ではなく、一つの数の符号である。そして拾えないときに残るのは、$\lambda$ という名の、答から消えてしまう径数であった。

参考文献

1. Yamabe, H. (1960). On a deformation of Riemannian structures on compact manifolds. Osaka Mathematical Journal, 12.
2. Trudinger, N. S. (1968). Remarks concerning the conformal deformation of Riemannian structures on compact manifolds. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, 22.
3. Aubin, T. (1976). Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 55.
4. Schoen, R. (1984). Conformal deformation of a Riemannian metric to constant scalar curvature. Journal of Differential Geometry, 20.
5. Schoen, R. & Yau, S.-T. (1979). On the proof of the positive mass conjecture in general relativity. Communications in Mathematical Physics, 65.
6. Lee, J. M. & Parker, T. H. (1987). The Yamabe problem. Bulletin of the American Mathematical Society, 17.
7. Talenti, G. (1976). Best constant in Sobolev inequality. Annali di Matematica Pura ed Applicata, 110.
8. 山岸勇輝 (2026). $8\pi$ は単位の産物である [論文17] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600813
9. 山岸勇輝 (2026). $16\pi^2$ のうち、幾何なのは $\Omega_3=2\pi^2$ だけである [論文46] 第3版. Zenodo. 10.5281/zenodo.21602422
10. 山岸勇輝 (2026). 弱い仮定がリー群を強制する [論文90]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758361
11. 山岸勇輝 (2026). 王道の交差 [論文100]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758864
12. 山岸勇輝 (2026). 光は共形構造までしか決めない [論文111]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21961685
13. 山岸勇輝 (2026). ホップは三人いる [論文125]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079384
14. 山岸勇輝 (2026). 光が測れないのは、密度である [論文150]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22083989
15. 山岸勇輝 (2026). 点がひとつも無い空間がある [論文155]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22084848

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「曲率を一定にしても、密度は決まらない」［論文23］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22090231

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Making the Curvature Constant Does Not Fix the Density},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/23},
  doi = {10.5281/zenodo.22090231},
  note = {Preprint, edition 1}
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