Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

体系は $4\pi$ を追い続けてきた。本稿は $\pi$ そのものに同じ検査を当てる。次元 $d$ を動かしたとき、その $\pi$ は動くか。新しい数学定理は主張しない。

第一に、珍しく「同根」を確認する回である。立体角の $\pi$ とガウス積分の $\pi$ は同じ根を持つ：$\mathrm{Vol}(S^{d-1})=2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)$ であり、$\mathbb{R}^d$ 上のガウス積分は $\pi^{d/2}$ である。$\pi^{d/2}$ を一切仮定しない再帰だけで球の体積を積分し、$d=2$ から $8$ まで一致を確認した（差は $10^{-120}$ 台）（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。ラマヌジャンの級数の $\pi$ には $d$ が無い。$1/\pi=(2\sqrt2/9801)\sum_k (4k)!\,(1103+26390k)/((k!)^4 396^{4k})$ のどこにも次元は現れず、動かすべきものが無い。体系自身の検査（次元非依存性、論文129）によれば、この $\pi$ は立体角ではない。モジュラー形式の周期である（第3節）。

第三に、桁の点呼。ライプニッツ級数は $10^6$ 項で $6$ 桁、ラマヌジャンは一項あたり約 $8$ 桁、チュドノフスキーは約 $14$ 桁である（本稿で計算）。三つとも「線形」であり、違うのは定数だけである（第4節）。

第四に、「速い」も三つの別根を持つ。ガウス＝ルジャンドル（AGM）は桁が $3,8,19,40,84,171,345$ と倍々に増える。定数が大きいのではなく、増え方の法則が違う。BBP はどちらの意味でも速くないが、$n$ 番目の十六進数字を前の $n-1$ 個なしに与える（本稿で第 $1,2,10,50,100,200$ 位を照合、全一致）（第5節）。

第五に、ブレーキ。$e^{\pi\sqrt{163}}$ は偶然でもなく、整数でもない。$640320^3+744$ との差は $7.49927\times10^{-13}$ である（本稿で計算）（第6節）。

射程（何を示さないか）

本稿の射程：新しい数学定理は主張しない。ラマヌジャンの級数、チュドノフスキーの級数、ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム、BBP 公式、類数 $1$ の虚二次体と $j$ 不変量はいずれも標準的である。加えたのは体系の次元検査を $\pi$ 自身に当てたこと、立体角の $\pi$ とガウスの $\pi$ が同根であると確認したこと、「速い」の三つの根に住所を書いたこと、$e^{\pi\sqrt{163}}$ について流通する二つの言い方の両方に柵を立てたことである。

1. 記法と位置づけ

$\mathrm{Vol}(S^{d-1})$ は $\mathbb{R}^d$ の単位球面の面積、$V_d$ は単位球の体積を表す。「桁」とは $\pi$ との相対誤差の常用対数の符号を変えたものをいう。

位置づけ：論文129 は次元に依存しないことをもって「その $4\pi$ は立体角でない」と判定した。論文130 は逆にビオ＝サヴァールの $4\pi$ が $(d-2)\mathrm{Vol}(S^{d-1})$ として次元とともに動くことを示した。本稿はその検査を $\pi$ そのものに当てる。

2. 立体角の $\pi$ とガウス積分の $\pi$ は同根である

検算 2.1：$\pi^{d/2}$ を仮定しない再帰
$V_d=\int_{-1}^{1}V_{d-1}(1-x^2)^{(d-1)/2}dx$、$V_1=2$ で体積を積分し、$\mathrm{Vol}(S^{d-1})=dV_d$ を $2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)$ と比べる。

さらに $\left(\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}dt\right)^d=\pi^{d/2}$ を $d=2,3,6$ で確認した（差は $0$ ないし $10^{-120}$ 台）。（証明終）

観察 2.2　立体角の $\pi$ とガウス積分の $\pi$ は、同じ根を持つ。どちらも指数 $d/2$ を担い、$d$ を動かせば一緒に動く。そもそもガウス積分は、球面の面積を計算する道具そのものである。

観察 2.3　体系が「同根」を確認するのは珍しい（論文142 に続く二度目）。別根を数えることと同じだけ、同根を確かめることは点呼の一部である。

3. 芯：ラマヌジャンの $\pi$ には $d$ が無い

事実 3.1（ラマヌジャン 1914）：

$$ \frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{k\ge0}\frac{(4k)!\,(1103+26390k)}{(k!)^4\,396^{4k}}. $$

観察 3.2　この式のどこにも次元 $d$ は現れない。したがって $d$ を動かしても、動くものが何も無い。

観察 3.3　体系の検査（論文129）は、次元非依存性をもって「その $\pi$ は立体角でない」と判定する。ここでの $\pi$ はモジュラー形式の周期として現れており、球面とは無関係である。同じ記号が、二つの別の理由で紙の上に現れている。

観察 3.4　これは「$\pi$ が二つある」という意味ではない。数としては一つである。別なのは、なぜそれが現れねばならないかという理由の方である。論文95 以来、体系はこの区別を「住所」と呼んできた。

4. 桁の点呼

検算 4.1

（証明終）

観察 4.2　ライプニッツは $k$ 桁に約 $10^k$ 項を要する。ラマヌジャンは一項あたり約 $8$ 桁、チュドノフスキーは約 $14$ 桁。しかし三つとも「一項あたり一定の桁数」という同じ型であり、違うのは定数だけである。

5. 「速い」は三つの別根を持つ

検算 5.1（ガウス＝ルジャンドル、AGM）：反復ごとの正しい桁数は

$$ 3,\quad 8,\quad 19,\quad 40,\quad 84,\quad 171,\quad 345 $$

であった（本稿で $500$ 桁精度により計算）。（証明終）

観察 5.2　桁が倍々に増えている。これは「定数が大きい」のではなく、増え方の法則そのものが違う。線形と二次は、別の根である。

検算 5.3（BBP）：$\pi$ の十六進展開の第 $n$ 位を、前の $n-1$ 位を計算せずに求める。

（証明終）

観察 5.4　BBP はどちらの意味でも速くない。一項あたりの桁も多くなく、倍々にもならない。与えるのはランダムアクセスである。三つの「良いアルゴリズム」のあいだに順序は無い。どれが良いかは、何を欲しいかで決まる。

6. ブレーキ：$e^{\pi\sqrt{163}}$ は偶然でもなく、整数でもない

検算 6.1

（証明終）

観察 6.2　流通する二つの言い方は、どちらも誤りである。「ただの偶然だ」は誤りで、$640320^3$ は類数 $1$ の虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-163})$ に対する $j$ 不変量の値であり、$j$ の $q$ 展開が一致を強制している。「実は整数だ」も誤りで、$7.5\times10^{-13}$ だけ外れる。

観察 6.3　そして同じ $640320$ が、チュドノフスキーの級数に現れる。第4節の $14$ 桁は、この体の類数が $1$ であることの帰結である。速さの出所も、$\pi$ の出所と同じ場所にある。

7. 点呼

観察 7.1　

観察 7.2　

8. 結論

1. 立体角の $\pi$ とガウスの $\pi$ は同根である（検算2.1）。どちらも $d/2$ 乗を担う。
2. ラマヌジャンの $\pi$ には $d$ が無い（観察3.2）。ゆえに立体角ではない。
3. 桁は線形に増える（検算4.1）。$8$ と $14$ は定数の違いにすぎない。
4. AGM は桁を倍にする（検算5.1）。$3,8,19,40,84,171,345$。
5. BBP が与えるのはランダムアクセスである（検算5.3）。三つの「速い」に順序は無い。
6. $e^{\pi\sqrt{163}}$ は偶然でも整数でもない（検算6.1）。差は $7.49927\times10^{-13}$。

結び：$\pi$ を見たら円を思う、という習慣は強い。だが $d$ を動かしてみると、動く $\pi$ と動かない $\pi$ がある。ラマヌジャンの紙の上の $\pi$ は、円から来たのではなかった。

参考文献

1. Ramanujan, S. (1914). Modular equations and approximations to $\pi$. Quarterly Journal of Mathematics, 45.
2. Borwein, J. M., & Borwein, P. B. (1987). Pi and the AGM. Wiley.
3. Salamin, E. (1976). Computation of $\pi$ using arithmetic-geometric mean. Mathematics of Computation, 30(135).
4. Brent, R. P. (1976). Fast multiple-precision evaluation of elementary functions. Journal of the ACM, 23(2).
5. Chudnovsky, D. V., & Chudnovsky, G. V. (1989). The computation of classical constants. Proceedings of the National Academy of Sciences, 86(21).
6. Bailey, D. H., Borwein, P. B., & Plouffe, S. (1997). On the rapid computation of various polylogarithmic constants. Mathematics of Computation, 66(218).
7. Cox, D. A. (1989). Primes of the Form $x^2+ny^2$. Wiley.
8. 山岸勇輝 (2026). 規約と事実 [論文95]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21758621
9. 山岸勇輝 (2026). 次元の持ち上げ [論文109]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21837375
10. 山岸勇輝 (2026). 二本の階段 [論文115]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21967686
11. 山岸勇輝 (2026). 不確定性は一つの定理ではない [論文129]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079681
12. 山岸勇輝 (2026). 渦線は法則でなく恒等式である [論文130]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22079996
13. 山岸勇輝 (2026). 生き残るのは $2\pi$ だけである [論文142]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22082281

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「次元を持たない π」［論文31］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22090430

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The π That Carries No Dimension},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/31},
  doi = {10.5281/zenodo.22090430},
  note = {Preprint, edition 1}
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