Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1072 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1072 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文1072】ばねの楕円を二乗すると、ケプラーの楕円になる

@misc{yamagishi2026yoi1072,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Squaring the Ellipse of a Spring Gives the Ellipse of Kepler},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1072},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969375・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 10:33（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

軌道がいつも閉じる中心力は、逆二乗の引力とばねの力の二つしかない（ベルトランの定理）。本稿は、この二つが平面では一つの写像でつながることを数で確かめる。平面を複素数で表し、ばねの軌道を二乗すると、ケプラーの軌道になる。これはボーリン（1911）とカスナー（1913）の結果で、アーノルドが本（1990）で紹介した。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。中心が原点のばねの楕円を二乗すると、焦点が原点の楕円になる。半径 2 と 1 の楕円は、長半径 $\mathbf{2.500000}$・離心率 $\mathbf{0.600000}$ の楕円に写り、二つの焦点からの距離の和の散らばりは、試した四つの楕円で最大 $\mathbf{1.421}$×10⁻¹⁴ である。ばねが一周するあいだに、写った点は原点のまわりを二周する。

第二に、時間は測り直さないと写らない。元の時間のままでは面積速度が $\mathbf{2.000000}$ から $\mathbf{8.000000}$ まで動くが、時間の刻みを原点からの距離の二乗で伸ばすと、散らばりは $\mathbf{2.072}$×10⁻¹⁵ まで消える。そのとき、ばねの強さがケプラーのエネルギーに、ばねのエネルギーがケプラーの結合の強さに入れ替わる。

第三に、力の冪は (a+3)(A+3)=4 で組になる。冪 a の力の軌道を、冪 (a+3)/2 の写像で写した曲線から、その曲線を軌道にする中心力を逆算すると、七つの冪すべてで予言どおりの冪になった。ばねの +1 は $\mathbf{-2.000000000}$ に、一定の力の 0 は $\mathbf{-1.666666667}$ に写り、冪を 0.1 ずらすと散らばりは $\mathbf{1.383}$×10⁻² 以上に跳ね上がる。

第四に、自分自身に写る冪は二つで、相手の無い冪が一つある。距離に反比例する力（写像は何もしない）と、距離の五乗に反比例する力（写像は反転）が自分自身に写り、距離の三乗に反比例する力では写像の冪が 0 になって相手が無い。

第五に、衝突は、ばねの側ではただの原点の通過である。ばねの楕円を細くすると、写ったケプラーの楕円の離心率は $\mathbf{0.999950001}$ まで 1 に寄り、最大の速さは 400 まで発散するのに、ばねの速さは 2 のままである。潰れきると、ケプラーの側は太陽に落ちて跳ね返る運動になり、速さに距離の平方根を掛けた量は $\mathbf{4.000000000}$ に落ち着く。

第六に、保存量は、角が二倍になって写る。ばねの保存量の主軸の角を 0.3 とすると、ケプラーの近点の向きは $\mathbf{3.741592654}$ で、π に角の二倍を足した値に一致する。

正直に書くと、ここで示すのは平面の話である。三次元への広げ方と、量子の話には立ち入らない。

キーワード：ばねの楕円、ケプラーの楕円、平方の写像、ベルトランの定理、時間の付け替え、衝突の正則化、力の冪の対応、分離子

Abstract

Among central forces, only two make every bounded orbit close: the inverse-square attraction and the force of a spring (Bertrand’s theorem).This paper checks numerically that in the plane the two are joined by one map.Writing the plane in complex numbers and squaring the orbit of a spring gives the orbit of Kepler.The result goes back to Bohlin (1911) and Kasner (1913) and was presented by Arnold in a book (1990).No new theorem or law is claimed.

First, and this is the core of the paper: squaring an ellipse of a spring, centred at the origin, gives an ellipse with a focus at the origin. The ellipse with radii 2 and 1 maps to an ellipse with semi-major axis $\mathbf{2.500000}$ and eccentricity $\mathbf{0.600000}$, and the spread of the sum of distances to the two foci is at most $\mathbf{1.421}$×10⁻¹⁴ over the four ellipses tried. While the spring goes round once, the image goes round the origin twice.

Second, time does not carry over unless it is measured anew. In the original time the areal velocity moves from $\mathbf{2.000000}$ to $\mathbf{8.000000}$, but stretching the time step by the square of the distance from the origin reduces its spread to $\mathbf{2.072}$×10⁻¹⁵. Then the stiffness of the spring becomes the energy of Kepler, and the energy of the spring becomes the strength of Kepler’s attraction.

Third, the exponents of force pair up by (a+3)(A+3)=4. Mapping an orbit of a force with exponent a by the power (a+3)/2 and working back to the central force that makes the image an orbit, all seven exponents tried came out as predicted. The spring’s +1 maps to $\mathbf{-2.000000000}$ and the constant force’s 0 to $\mathbf{-1.666666667}$, and shifting the exponent by 0.1 makes the spread jump to at least $\mathbf{1.383}$×10⁻².

Fourth, two exponents map to themselves and one has no partner. The force inversely proportional to distance (the map does nothing) and the force inversely proportional to the fifth power (the map is an inversion) map to themselves, while for the inverse-cube force the power of the map becomes 0 and there is no partner.

Fifth, a collision is, on the side of the spring, just a passage through the origin. Making the spring’s ellipse thinner drives the eccentricity of the Kepler image towards 1, up to $\mathbf{0.999950001}$, and its maximum speed diverges up to 400, while the spring’s speed stays at 2. Flattened completely, the Kepler side becomes a fall into the sun and a bounce, and the speed times the square root of the distance settles at $\mathbf{4.000000000}$.

Sixth, the conserved quantities map with the angle doubled. With the principal axis of the spring’s conserved tensor at angle 0.3, the perihelion of Kepler points at $\mathbf{3.741592654}$, which is π plus twice the angle.

Stated plainly, what is shown is a planar result. The extension to three dimensions and the quantum story are not entered.

Keywords: ellipse of a spring, Kepler ellipse, squaring map, Bertrand’s theorem, change of time, collision regularization, pairing of force exponents, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1072/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1072 はいつも最新の版を指します）。

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