Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1074 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1074 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文1074】同じ行列が、連続の上では混ぜ続け、画素の上では必ず絵を元に戻す

@misc{yamagishi2026yoi1074,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Same Matrix Keeps Mixing on the Continuum and Always Returns the Picture on Pixels},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1074},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969375・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 10:33（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

アーノルドとアヴェズ（1968）は、猫の絵をドーナツの表面（トーラス）の上で引き伸ばして折り返す写像を描いた。その行列は、論文1053 がタイルの比を出した置換行列と同じものである。本稿は、この一つの行列が、連続の上では絵をどこまでも混ぜるのに、画素の上では必ず元の絵に戻すことを数で確かめ、二つを分けているものを名指す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、連続の上では混ぜる。近い二点の隔たりは一歩ごとに $\mathbf{2.618034}$ 倍（黄金比の二乗）に開き、小さな正方形に集めた 10 万個の点は 8 歩で、100 に分けたどのますにも一様の 1 割以内で入る。

第二に、これが本稿の芯である。画素の上では必ず戻る。N×N の画素に置いた絵は、有限の回数で元に戻る。その回数は、フィボナッチ数列を N で割った余りの周期（ピサノ周期）から決まり、N=2 から 300 のすべてで一致した。最も遅くても 3N 回で、それは N が 10・50・250 のときである。

第三に、フィボナッチ数とリュカ数の画素は速く戻る。144 画素の絵は 12 回で、199 画素の絵は 11 回で戻る。画素の数あたりで最も速い三つは 199・144・288 である。

第四に、戻る理由は、画素の点が分母 N の有理数だからである。写像は有限個の点の並べ替えになり、144 画素では 20736 個の点が 1738 本の輪に分かれ、輪の長さの最小公倍数がちょうど 12 である。

第五に、倍精度の計算では戻れない。37/250 は二進数で正確に表せず、丸めのずれが一歩ごとに黄金比の二乗の倍で育つ。250 画素の点は 750 回で戻るはずなのに、倍精度では 37 回目に軌道から外れる。桁を増やすとずれる回は桁数に比例して延び、400 桁で 750 回を追いきって戻る。

正直に書くと、見込みが三つ外れた。速く戻る N の上位六つがどれもフィボナッチ数かリュカ数だという見込み、ずれる回が見積もりと 3 回以内で合うという見込み、144 画素の絵が 6 回目に逆さまになるという見込みである。

キーワード：猫写像、トーラス、画素、ピサノ周期、フィボナッチ数列、ポアンカレの回帰、丸め、分離子

Abstract

Arnold and Avez (1968) drew a map that stretches and folds the picture of a cat on the surface of a doughnut (the torus).Its matrix is the same substitution matrix from which Paper 1053 obtained the ratio of tiles.This paper checks numerically that this one matrix mixes a picture without end on the continuum yet always returns it on pixels, and names what separates the two.No new theorem or law is claimed.

First, on the continuum it mixes: the distance between two nearby points opens by a factor of $\mathbf{2.618034}$ (the square of the golden ratio) at each step, and 100,000 points gathered in a small square enter every one of 100 cells within one tenth of uniform after 8 steps.

Second, and this is the core of the paper: on pixels it always returns. A picture on N×N pixels returns to itself after finitely many steps. The number is set by the period of the Fibonacci sequence modulo N (the Pisano period), and this held for every N from 2 to 300. At most it takes 3N steps, which happens for N = 10, 50 and 250.

Third, pixels numbering a Fibonacci or Lucas number return quickly: a 144-pixel picture returns in 12 steps and a 199-pixel picture in 11. The three fastest per pixel are 199, 144 and 288.

Fourth, the reason for returning is that pixel points are rationals with denominator N: the map becomes a rearrangement of finitely many points, and for 144 pixels the 20736 points split into 1738 cycles whose lengths have least common multiple exactly 12.

Fifth, computation in double precision cannot return: 37/250 has no exact binary form, and the rounding shift grows by the square of the golden ratio each step. A point of 250 pixels should return after 750 steps, but in double precision it leaves the orbit at step 37. With more digits the step of leaving extends in proportion to the number of digits, and with 400 digits the 750 steps are followed to the end and the point returns.

Stated plainly, three expectations failed: that the six fastest N would all be Fibonacci or Lucas numbers, that the step of leaving would agree with the estimate to within 3, and that the 144-pixel picture would turn upside down at step 6.

Keywords: cat map, torus, pixel, Pisano period, Fibonacci sequence, Poincaré recurrence, rounding, separator

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1074/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1074 はいつも最新の版を指します）。

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