Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文5 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/5 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.21404236）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文5】ヤン=ミルズ質量ギャップと次元転移

@misc{yamagishi2026yoi5,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Yang--Mills Mass Gap and Dimensional Transmutation},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/5},
  doi = {10.5281/zenodo.21404236},
  note = {Preprint, edition 3}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969387・969388・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:18（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

古典的なヤン=ミルズ理論はスケール不変であり、作用に質量次元をもつパラメータが存在しない。にもかかわらず量子論は質量スケールを生成する。これが次元転移であり、質量ギャップの起源である。本稿はこの機構に現れる数の資格を書き分ける。第一に、$\Lambda_{\mathrm{QCD}}$ は二つの規約から組み立てられた不変量である。 繰り込みスケール $\mu$ は規約であり、結合 $g(\mu)$ もそれに依存する。だが両者の組合せ $\Lambda=\mu\exp(-8\pi^2/(b_0g^2))$ は $\mu$ に依らない（本稿で数値確認：$\mu$ を $91$ GeV から $1$ GeV まで動かしても $\Lambda=245.75$ MeV で一定）。論文35は「事実 $\times$ 規約」の積を分離したが、本稿はその逆、規約どうしが組み合わさって規約に依らない量になる場合である。 第二に、スケールの固まり方には少なくとも三通りある。 (a) 次元解析（論文39のプランク長、論文03のコルモゴロフ長：冪法則で、指数は次元行列の行列式が決める）、(b) 単位の選択（論文35・38：規約）、(c) 次元転移（本稿：$e^{-1/g^2}$ という本質的特異点をもち、摂動論では決して見えない）。これらは別根であり、統合してはならない。 第三に、この数は指数的に脆い。 $d\ln\Lambda/d\alpha_s=2\pi/(b_0\alpha_s^2)\approx50$ であるから、$\alpha_s$ の $1\%$ の誤差が $\Lambda$ の約 $6\%$ の誤差になる。論文04が示した $n^*$（入力を $2.5$ 倍動かしても $1.3$ しか動かない）と正反対である。同じ体系に、対数的に頑健な数と指数的に脆い数が同居している。 第四に、質量ギャップは事実であり、$\Lambda_{\mathrm{QCD}}$ は記帳法である。 格子計算による最軽量スカラー・グルーボール $m(0^{++})\approx1.7$ GeV は測定できる物理量だが、$\Lambda_{\mathrm{QCD}}$ はスキーム・$n_f$・ループ次数に依存する（$n_f=3$ で $246$ MeV、$n_f=4$ で $153$ MeV、$n_f=5$ で $88$ MeV）。未解決なのは物理的存在ではなく数学的厳密性である。 第五に、$1$ ループの $\Lambda$ は、$1$ ループが壊れる場所である。 $\Lambda$ は走る結合の極として定義されるが、その近傍では $\alpha_s$ が $1$ を超える（$\mu=0.3$ GeV で $3.5$）。定義そのものが自らの妥当域の外にある。 射程：既存の場の量子論の枠内での構造的整理（第2層）。ヤン=ミルズの存在と質量ギャップはクレイ数学研究所のミレニアム懸賞問題であり未解決である。本稿はその証明も、4次元ヤン=ミルズ理論の構成も、その部分的達成も主張しない。

Abstract

Classical Yang–Mills theory is scale invariant: its action contains no parameter of mass dimension. The quantum theory nevertheless generates a mass scale、this is dimensional transmutation, and it is the origin of the mass gap. This paper writes out the standing of the numbers appearing in that mechanism. First, $\Lambda_{\mathrm{QCD}}$ is an invariant built from two conventions. The renormalisation scale $\mu$ is a convention, and the coupling $g(\mu)$ depends on it. Yet their combination $\Lambda=\mu\exp(-8\pi^2/(b_0g^2))$ does not depend on $\mu$ (verified numerically here: moving $\mu$ from $91$ GeV to $1$ GeV leaves $\Lambda=245.75$ MeV unchanged). Paper 35 separated a product of “fact $\times$ convention”; this paper is the converse case、conventions combining into something convention-independent. Second, there are at least three ways a scale gets fixed. (a) Dimensional analysis (the Planck length of Paper 39, the Kolmogorov length of Paper 03: power laws whose exponents are set by the determinant of the dimension matrix); (b) a choice of units (Papers 35, 38: convention); (c) dimensional transmutation (this paper: $e^{-1/g^2}$, carrying an essential singularity and invisible to perturbation theory). These are distinct roots and must not be merged. Third, this number is exponentially fragile. Since $d\ln\Lambda/d\alpha_s=2\pi/(b_0\alpha_s^2)\approx50$, a $1\%$ error in $\alpha_s$ becomes roughly a $6\%$ error in $\Lambda$. This is the opposite of the $n^*$ of Paper 04, which moved by only $1.3$ when its input was changed by a factor of $2.5$. Logarithmically robust numbers and exponentially fragile ones coexist in this series. Fourth, the mass gap is a fact and $\Lambda_{\mathrm{QCD}}$ is bookkeeping. The lightest scalar glueball on the lattice, $m(0^{++})\approx1.7$ GeV, is a measurable physical quantity, whereas $\Lambda_{\mathrm{QCD}}$ depends on scheme, $n_f$ and loop order ($246$ MeV at $n_f=3$, $153$ at $n_f=4$, $88$ at $n_f=5$). What is unsolved is not physical existence but mathematical rigour. Fifth, the one-loop $\Lambda$ sits where one loop breaks down. $\Lambda$ is defined as the pole of the running coupling, but near it $\alpha_s$ exceeds one ($3.5$ at $\mu=0.3$ GeV). The definition lies outside its own domain of validity. Scope: a structural account within established quantum field theory (Layer 2). The existence and mass gap of Yang–Mills theory is a Clay Millennium Prize Problem and is unsolved. This paper claims neither its proof, nor the construction of four-dimensional Yang–Mills theory, nor any partial achievement of either.

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第3版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/5/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/5 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ