Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文51 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/51 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.21602935）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文51】山岸・重力多重極集約理論

@misc{yamagishi2026yoi51,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Yamagishi Gravitational Multipole Aggregation Theory},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/51},
  doi = {10.5281/zenodo.21602935},
  note = {Preprint, edition 4}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969387・969388・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:18（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

遠方にある球対称な質量分布は、総質量と重心という二つの量だけで、外部の重力場を誤差ゼロで再現できる。これがニュートンの球殻定理である。本稿はこの集約許可の出所を一つに特定する。

【第4版】その一行は強すぎた。初版から第3版まで、本稿はこれを「$N$ 体計算においてバーンズ・ハット法や高速多重極法（FMM）が $O(N^2)$ を圧縮できる根拠でもある」と述べていた。球殻定理は球対称な殻についての厳密な言明であり、両手法が扱うのは非対称な塊で、誤差はゼロにならない。実のところ本稿の系4.3 は既に誤差を $O(\theta^2)$ と書いており、要旨と本体が食い違っていた。帰属は球殻定理までであって、FMM には届かない。FMM の許可証は低ランク分離可能性であり、指数が $2$ でない核（$\log r$・湯川・ヘルムホルツ・$1/r^4$・ガウシアン）でも同じ圧縮が働く。核非依存 FMM の存在自体が反例である（論文124）。また FMM は $O(N)$ であり、$O(N\log N)$ はバーンズ・ハット法である（本稿の定理7.1 は本文では正しく区別していた）。

【第4版】逆に、「$4\pi$ は答えに残らない」には二本目の脚が付いた。$4\pi$ は核の全体因子であり、階層的低ランク法の計算量は核の定数倍で変わらない。したがって $4\pi$ は複雑度に入りえない。幾何の相殺とは独立の、計算量からの証明である（論文124）。

初版はそれを $4\pi$ に、より正確には山岸パッチ $G=4\pi$（論文35）に帰していた。第2版はこれを訂正し、許可を与えているのは指数 $n=2$（束保存）であって $G$ の値ではないと述べた。第3版はこの訂正を本文の定理そのものに実行するとともに、訂正をもう一段先へ進める。

中心的な主張は次の一行である：$4\pi$ は球殻定理の答えに残らない。球面を貫く束の積分は $g(r)\cdot 4\pi r^2$、ガウスの法則の右辺は $-4\pi G M$ であり、両辺の $4\pi$ は同一の対象（全立体角 $\Omega_2$）が二度現れたもので、完全に相殺する（$g=-GM/r^2$、記号計算で確認済）。したがって $4\pi$ は「許可証ではない」どころか、結論の中に存在しない。パッチ $G=4\pi$ を代入したとき $g=-4\pi M/r^2$ に残る $4\pi$ は規約の側であり、幾何の側は既に消えている。初版が幾何と呼んで指差したものは、規約だった。

集約を許可しているのは指数である。$4\pi$ は、その指数が「捨ててよい」と告げてくれる当のものである。

Abstract

A distant spherically symmetric mass distribution can be reproduced, as far as its external gravitational field is concerned, by just two numbers: the total mass and the centre of mass、with zero error. This is Newton’s shell theorem. This paper pins down the single source of that aggregation licence.

[4th ed.] That line was too strong. Through the third edition this paper also called the shell theorem “the ground on which the Barnes–Hut and fast multipole methods compress $O(N^2)$ in $N$-body computation”. The shell theorem is an exact statement about spherically symmetric shells, whereas both methods handle asymmetric clumps whose error is never zero. Indeed Corollary 4.3 of this very paper already wrote that error as $O(\theta^2)$: the abstract and the body disagreed. The attribution reaches the shell theorem and stops there. FMM’s licence is low-rank separability, and the same compression works for kernels whose exponent is not $2$ ($\log r$, Yukawa, Helmholtz, $1/r^4$, a Gaussian); the existence of kernel-independent FMM is itself the counterexample (Paper 124). FMM is moreover $O(N)$, while $O(N\log N)$ is Barnes–Hut、a distinction Theorem 7.1 below already drew correctly.

[4th ed.] Conversely, “$4\pi$ does not survive into the answer” has gained a second leg. $4\pi$ is an overall factor of the kernel, and the complexity of a hierarchical low-rank method is unchanged by scaling the kernel. Hence $4\pi$ cannot enter the complexity、a proof from computational cost, independent of the geometric cancellation (Paper 124).

The first edition attributed it to $4\pi$, and more precisely to the Yamagishi patch $G=4\pi$ (Paper 35). The second edition corrected this: the licence is granted by the exponent $n=2$ (flux conservation), not by the value of $G$. The third edition carries that correction into the theorems themselves, and then pushes it one step further.

The central claim is a single line: $4\pi$ does not survive into the answer of the shell theorem. The flux integral over the sphere is $g(r)\cdot 4\pi r^2$; the right-hand side of Gauss’s law is $-4\pi G M$; and the two $4\pi$’s are the same object appearing twice、the total solid angle $\Omega_2$、so they cancel exactly (giving $g=-GM/r^2$; verified symbolically). Hence $4\pi$ is not merely “not the licence”; it is absent from the conclusion. The $4\pi$ that remains in $g=-4\pi M/r^2$ once the patch $G=4\pi$ is substituted is the convention, the geometric one having already cancelled. What the first edition pointed at and called geometry was a convention.

What licenses aggregation is the exponent. $4\pi$ is what that exponent tells you may be discarded.

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第4版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/51/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/51 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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