Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文129 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/129 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22079681）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文129】ħ は、不等式の数学の側には無い

@misc{yamagishi2026yoi129,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {ħ Is Not on the Mathematical Side of the Inequality},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/129},
  doi = {10.5281/zenodo.22079681},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「不確定性原理」という一語が、測っているものの違う複数の定理を指している。本稿はそれを点呼し、それぞれの住所を書く。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、これが本稿の芯である。$\hbar$ は不等式の数学の側には無い。時間幅と角周波数幅の積についての不等式 $\sigma_t\sigma_\omega\ge\frac12$ は、二乗可積分な関数とそのフーリエ変換についての定理であり、物理定数を一つも含まない。本稿ではガウス関数がこれを等号で満たすこと、しかも幅によらず $\frac12$ になることを記号計算で確認した。$\Delta x\,\Delta p\ge\frac{\hbar}{2}$ になるのは、$p=\hbar k$ という物理の同定を一度だけ通したからである。$\frac12$ は数学が出し、$\hbar$ は物理が出す（第2節）。

第二に、その $\frac12$ すら規約を含んでいる。周波数を「一周あたり」で書けば同じ定理が $\sigma_t\sigma_\nu\ge\frac{1}{4\pi}$ になる。ここに現れる $4\pi$ は $2\times2\pi$ であり、$2$ は極値の $\frac12$、$2\pi$ は一周とラジアンの換算である。そして $\frac{h}{4\pi}=\frac{\hbar}{2}$ の $4\pi$ も同じ $2\times2\pi$ である。別根ではない。同じ根である。どちらも立体角ではない。下限は空間次元を変えても動かないからである（第3節）。

第三に、分散版は、分散が発散すれば何も言っていない。コーシー分布の二次モーメントは発散する（本稿で確認）。矩形パルスは時間側の台が有限なのに、周波数側の分散が発散する（本稿で窓を四倍ずつ広げ、推定値が四倍ずつ増えることを確認）。「両方は絞れない」は、分散という物差しについての言明であって、局在そのものについての言明ではない。これは論文106 が定常性と裾の厚さについて置いたブレーキと同じ形である（第4節）。

第四に、離散側には算術の根がある。$\mathbb{Z}/N$ 上では非零成分の個数の積が $N$ 以上になる（ドノホ＝スターク）。これに加法版 $\|f\|_0+\|\hat f\|_0\ge N+1$ が成り立つのは $N$ が素数のときだけである（タオ）。本稿では $N=9,12,16$ の櫛形が積 $=N$ を達成し、和が $N+1$ を大きく下回ることを示し、$N=7,11,13$ では無作為試行の最小値がちょうど $N+1$ になることを確認した。改良を与えているのは解析ではなく、$N$ の素数性である（第5節）。

第五に、八つ並べると、測っているものが全部違う。分散・交換子・減衰の速さ・台の測度・エントロピー・非零成分の個数・素数性・寿命。どれも他を含意しない。とくにエネルギーと時間の関係は、位置と運動量の関係と同じ定理ではない。時間は作用素ではないからである（論文54・127）（第6節）。

Abstract

One phrase, the uncertainty principle, points at several theorems that measure different things. This paper calls the roll and writes each address. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, and this is the core. $\hbar$ is not on the mathematical side of the inequality. The inequality $\sigma_t\sigma_\omega\ge\frac12$ for the product of a time width and an angular-frequency width is a theorem about square-integrable functions and their Fourier transforms, and it contains no physical constant whatsoever. This paper confirms symbolically that a Gaussian attains equality, and does so at $\frac12$ regardless of its width. The relation $\Delta x\,\Delta p\ge\frac{\hbar}{2}$ arises because one physical identification, $p=\hbar k$, has been passed through exactly once. The $\frac12$ comes from mathematics; the $\hbar$ comes from physics (Section 2).

Second, even that $\frac12$ carries a convention. Writing frequency per turn rather than per radian turns the same theorem into $\sigma_t\sigma_\nu\ge\frac{1}{4\pi}$. The $4\pi$ appearing there is $2\times2\pi$: the $2$ is the extremal $\frac12$, and the $2\pi$ converts turns to radians. And the $4\pi$ in $\frac{h}{4\pi}=\frac{\hbar}{2}$ is the same $2\times2\pi$. These are not distinct roots. They are the same root. Neither is a solid angle, because the bound does not move when the spatial dimension is changed (Section 3).

Third, the variance statement says nothing when the variance diverges. The second moment of the Cauchy density diverges (verified here). A rectangular pulse has finite support in time yet infinite variance in frequency (verified here by widening the window fourfold and watching the estimate rise fourfold). The sentence that one cannot localise in both is a statement about the variance, not about localisation as such. This has the same shape as the brake Paper 106 places on stationarity and fat tails (Section 4).

Fourth, the discrete side has an arithmetic root. On $\mathbb{Z}/N$ the product of the numbers of non-zero entries is at least $N$ (Donoho–Stark). The additive form $\|f\|_0+\|\hat f\|_0\ge N+1$ holds only when $N$ is prime (Tao). This paper exhibits picket fences at $N=9,12,16$ attaining product $=N$ with a sum far below $N+1$, and confirms that at $N=7,11,13$ the minimum over random trials is exactly $N+1$. What supplies the improvement is not analysis but the primality of $N$ (Section 5).

Fifth, lay eight of them side by side and every one measures something different. Variance, commutator, rate of decay, measure of support, entropy, count of non-zero entries, primality, lifetime. None implies the others. In particular the energy–time relation is not the same theorem as the position–momentum one, because time is not an operator (Papers 54, 127) (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/129/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/129 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ