Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文132 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/132 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22080358）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文132】伊藤の 2 は、次元ではない

@misc{yamagishi2026yoi132,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The 2 in Itô's Lemma Is Not a Dimension},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/132},
  doi = {10.5281/zenodo.22080358},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

伊藤の補題には $\frac12\sigma^2 f”$ という二階の項が現れる。体系にも $2$ が多い。本稿は、この $2$ がどこから来ているかを書く。新しい数学定理も新しい物理法則も主張しない。

第一に、二階で止まるのは、二次変分だけが生き残るからである。ブラウン運動の道について、本稿では分割を細かくしながら三つの変分を数えた。一次変分は $23.8\to408.0$ と発散し、二次変分は $T=1$ に落ち着き、三次変分は $4.2\times10^{-2}\to3.1\times10^{-3}$ とゼロへ向かう。ゆえに伊藤の補題は近似ではなく厳密である（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。その $2$ は空間次元ではなく、道の粗さで決まる。ハースト指数 $H$ の非整数ブラウン運動について、本稿では二次変分を数え、$H=0.3$ では $9.3\to11.6\to16.2$ と発散し、$H=0.7$ では $0.107\to0.083\to0.060$ とゼロへ向かい、$H=0.5$ でのみ安定することを得た。生き残る階数を決めるのは $1/H$ であり、ブラウン運動では $1/H=2$ である（ライオンズのラフパス理論）。そして空間次元をいくら動かしても、伊藤の補題は二階で止まる（第3節）。

第三に、余分な項そのものは規約である。同じ道・同じ被積分関数でも、各小区間のどこで被積分関数を読むかで答えが変わる。本稿では $\int B\,dB$ を数値的に計算し、左端で読めば $-0.2344$、中点で読めば $+0.2653$、差はちょうど $T/2=0.5$ を得た。ストラトノビッチ流儀は通常の連鎖律に従い、$\frac12\sigma^2f”$ を持たない（第4節）。

第四に、だが規約でないものが一つある。二つの流儀が食い違うこと自体である。それは二次変分がゼロでないという言明にほかならない。そして流儀の選択は恣意的ではない。非先読みが要るなら伊藤（建玉は値が動く前に決める）、滑らかな雑音の極限ならストラトノビッチ（ウォン＝ザカイ）（第5節）。

第五に、「平均リターン」という一語が二つの量を指している。幾何ブラウン運動について本稿では $40$ 万本を生成し、価格の平均は $e^{\mu T}$（$1.1034$ 対 理論値 $1.1052$）、対数価格の平均は $(\mu-\sigma^2/2)T$（$0.0188$ 対 $0.0200$）を得た。差はちょうど伊藤の補正 $\sigma^2/2$ である（第6節）。

Abstract

Itô’s lemma carries a second-order term $\frac12\sigma^2f”$. The corpus is full of twos. This paper writes where this one comes from. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, the expansion stops at second order because only the quadratic variation survives. Refining the partition on a Brownian path, this paper counts three variations: the first diverges, from $23.8$ to $408.0$; the second settles at $T=1$; the third falls from $4.2\times10^{-2}$ to $3.1\times10^{-3}$. Itô’s lemma is therefore exact, not an approximation (Section 2).

Second, and this is the core. That $2$ is not a spatial dimension but the roughness of the path. For fractional Brownian motion with Hurst exponent $H$, this paper counts the quadratic variation and finds it diverging at $H=0.3$ ($9.3\to11.6\to16.2$), vanishing at $H=0.7$ ($0.107\to0.083\to0.060$), and stable only at $H=0.5$. The order that survives is set by $1/H$, and for Brownian motion $1/H=2$ (Lyons’s rough path theory). And no change of spatial dimension moves it: Itô’s lemma stops at second order for every $d$ (Section 3).

Third, the extra term itself is a convention. For the same path and the same integrand, where the integrand is read on each subinterval changes the answer. Computing $\int B\,dB$ numerically, this paper obtains $-0.2344$ at the left endpoint and $+0.2653$ at the midpoint, a gap of exactly $T/2=0.5$. The Stratonovich convention obeys the ordinary chain rule and has no such term (Section 4).

Fourth, one thing is nevertheless not a convention: that the two conventions disagree at all. That is precisely the statement that the quadratic variation is nonzero. And the choice between them is not arbitrary: Itô where the integrand must be non-anticipating (a position is set before the price moves), Stratonovich where the noise is a limit of smooth noise (Wong–Zakai) (Section 5).

Fifth, the phrase “average return” names two different quantities. Simulating $400{,}000$ paths of geometric Brownian motion, this paper obtains a mean price of $e^{\mu T}$ ($1.1034$ against a theoretical $1.1052$) and a mean log price of $(\mu-\sigma^2/2)T$ ($0.0188$ against $0.0200$). The gap is exactly the Itô correction $\sigma^2/2$ (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/132/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/132 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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