Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文161 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/161 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22092530）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文161】「不動点」は一つの定理ではない

@misc{yamagishi2026yoi161,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Fixed Point Is Not One Theorem},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/161},
  doi = {10.5281/zenodo.22092530},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「不動点定理」という一語が、要求も結論も違う五つの主張を指している。本稿はそれを点呼し、それぞれが何を要求し何を与えるかを書く。新しい数学定理は主張しない。

第一に、ブラウワーは存在しか与えない。$f(x)=1-x$ は $[0,1]$ 上で連続な自己写像だから仮定を完全に満たすのに、反復は $0\to1\to0$、$0.3\to0.7\to0.3$、$0.9\to0.1\to0.9$ と振動して一度も収束しない（本稿で計算）。一意性も約束されない。$f(x)=x$ は連続体、$f(x)=x^2$ は二点、$f(x)=1-x$ は一点（第2節）。

第二に、バナッハは存在・一意・算法の三つを渡す。縮小率 $c$ に対し誤差比が $c$ そのものに一致し（測定値 $0.1999999999$、$0.5000000000$、$0.8000000000$、$0.9499999990$）、$10^{-12}$ に届くまでの歩数は $18,41,132,598$。事前評価 $c^n/(1-c)$ は不等式ではなく等号で満たされる。この写像で評価は最良である（第3節）。

第三に、これが本稿の芯であり、ブレーキである。レフシェッツ数が $0$ のとき、何も言っていない。トーラス上で恒等写像は $L=0$ でありながら全点が不動、回転は $L=0$ で不動点が一つも無い（それぞれ $200000$ 点で確認）。$L=0$ は不動点の有無について情報を持たない（第4節）。

第四に、角谷はブラウワーではない。マッチング・ペニーズの最適応答は、タイを一つに決めると$401\times401$ の全数探索で不動点が一つも無い。集合値にすると $(1/2,1/2)$ が入る。差は「集合値かどうか」ただ一つ（第5節）。

第五に、体系自身が第五の意味を使っている。$\beta=0$ という流れの不動点（論文117・120）。写像が引数を返す点ではない（第6節）。

Abstract

The single phrase “fixed point theorem” names five statements that differ both in what they assume and in what they conclude. This paper calls them by name and writes what each demands and what each delivers. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, Brouwer delivers existence and nothing else. The map $f(x)=1-x$ is a continuous self-map of $[0,1]$ and meets every hypothesis, yet iteration oscillates as $0\to1\to0$, $0.3\to0.7\to0.3$, $0.9\to0.1\to0.9$ and never converges (computed here). Uniqueness is not promised either、$f(x)=x$ fixes a continuum, $f(x)=x^2$ two points, $f(x)=1-x$ one (Section 2).

Second, Banach hands over existence, uniqueness and the algorithm. For a contraction constant $c$ the ratio of successive errors equals $c$ itself (measured $0.1999999999$, $0.5000000000$, $0.8000000000$, $0.9499999990$), reaching $10^{-12}$ in $18,41,132,598$ steps. The a priori bound $c^n/(1-c)$ is met not as an inequality but as an equality、for this map the bound is sharp (Section 3).

Third, and this is the core and the brake. When the Lefschetz number is $0$, nothing has been said. On the torus the identity has $L=0$ with every point fixed, while a rotation has $L=0$ with no fixed point at all (each checked on $200000$ points). A vanishing $L$ carries no information about fixed points (Section 4).

Fourth, Kakutani is not Brouwer. In matching pennies, the best response with ties broken into a function has no fixed point at all on an exhaustive $401\times401$ grid. Made set-valued, it contains $(1/2,1/2)$、the whole difference is being set-valued (Section 5).

Fifth, the corpus itself uses a fifth sense、the fixed point of a flow, a zero of a beta function (Papers 117 and 120), which is not a point where a map returns its argument (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/161/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/161 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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