Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文162 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/162 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22092568）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文162】全体のほうが、部分より知られていないことがある

@misc{yamagishi2026yoi162,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Whole Can Be Better Known Than Its Parts},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/162},
  doi = {10.5281/zenodo.22092568},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

論文88 は「エントロピー」という一語のもとに二つの別物（粗視化のものと地平線の面積のもの）があると書いた。本稿は第三の住所を加える：フォン・ノイマンのエントロピー $S(\rho)=-\mathrm{Tr}(\rho\ln\rho)$ である。新しい物理法則は主張しない。

第一に、これはシャノンを「量子化」したものではない。量子状態には一つの確率分布が付いていない。測定基底ごとに違う分布が出る。固有基底で測ったときのシャノン量が $S(\rho)$ に機械精度で一致し（四例とも差 $0$）、無作為な基底は上からしか近づかない（第2節）。

第二に、ユニタリ発展では一切変わらない。$4000$ 組の無作為な状態とユニタリで最大変化は $2.33\times10^{-15}$。閉じた量子系では、これは時間の矢になりえない（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。全体のほうが部分より小さいことがある。一重項では$S(AB)=0$ なのに $S(A)=S(B)=\ln2=0.6931471806$。古典では起こりえない。$2\times2$ の同時分布を $200000$ 個引いても $H(AB)-\max(H(A),H(B))$ は一度も負にならなかった（最小 $0.007226$）（第4節）。

第四に、したがって条件付きエントロピーが負になる。一重項で$S(A|B)=-\ln2$。同じ $200000$ 個の古典分布では最小でも $0.009555$、符号の約束すら共有していない（第5節）。

第五に、代わりに何が残るか。劣加法性と荒木＝リーブの三角不等式は $20000$ 個の無作為な状態で破れゼロであり、一重項はその境界にちょうど乗っている（第6節）。

Abstract

Paper 88 wrote that under the single word “entropy” there are two different quantities、the coarse-grained one and the horizon-area one. This paper adds a third address: the von Neumann entropy $S(\rho)=-\mathrm{Tr}(\rho\ln\rho)$. NO NEW PHYSICAL LAW IS CLAIMED.

First, it is not Shannon’s entropy “quantised”. A quantum state does not come with one probability distribution、each measurement basis yields its own. Measured in the eigenbasis, the Shannon quantity equals $S(\rho)$ to machine precision (a difference of $0$ in all four cases), and random bases only approach it from above (Section 2).

Second, unitary evolution does not change it at all. Over $4000$ random states and unitaries the largest change was $2.33\times10^{-15}$. For a closed quantum system it therefore cannot be the arrow of time (Section 3).

Third, and this is the core. The whole can carry less than a part. For the singlet $S(AB)=0$ while $S(A)=S(B)=\ln2=0.6931471806$. Classically this cannot happen、over $200000$ random $2\times2$ joint distributions, $H(AB)-\max(H(A),H(B))$ was never once negative (smallest $0.007226$) (Section 4).

Fourth, the conditional entropy is therefore negative. For the singlet $S(A|B)=-\ln2$, while over the same $200000$ classical draws the smallest value was $0.009555$、the two do not even share a sign convention (Section 5).

Fifth, what stands in its place. Subadditivity and the Araki–Lieb triangle inequality were violated zero times over $20000$ random states, and the singlet sits exactly on the boundary of the latter (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/162/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/162 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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