Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文187 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/187 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22105639）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文187】正規分布が特別である理由は、一つではない

@misc{yamagishi2026yoi187,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Gaussian Is Special for More Than One Reason},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/187},
  doi = {10.5281/zenodo.22105639},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「正規分布はなぜ至るところに現れるのか」への答は、しばしば中心極限定理ひとつで済まされる。本稿は、互いに無関係な理由が四つあり、どれも押さえた条件が違うことを書く。新しい数学定理は主張しない。

第一に、有限分散は飾りではなく条件である。正規変数を $1000$ 個平均すると散らばりは $1.345$ から $0.0427$ へ縮むが、コーシー変数では $2.003$ から $2.017$ で何も起きない。四分位も一個のときと一致した（第2節）。

第二に、安定性だけでは正規は選ばれない。正規もコーシーも安定であり、相対誤差はいずれも $0.004$ 以下であった。安定性は族であって点ではない（第3節）。

第三に、最大エントロピーは何を固定したかで答が変わる。分散を固定すれば正規（実測 $1.418$、理論上限 $1.419$）だが、平均を固定すれば指数、範囲を固定すれば一様である（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。回転不変性と座標の独立性だけで正規が強制される。$45$ 度回しても積の密度が変わらないのは正規だけで、変化は $5.6\times10^{-17}$ であった。ここには和も極限も無い（第5節）。

第五に、第四の理由を確かめようとして最初の試験が失敗した。標本平均と標本分散の相関を測ると、正規も一様もラプラスもすべてゼロだった。対称な分布はどれも無相関だからである。平均の二乗と相関を取り直すと、正規だけが $+0.0006$、一様は $-0.300$、ラプラスは $+0.299$ であった（第6節）。

Abstract

Asked why the gaussian turns up everywhere, one usually answers with the central limit theorem alone. This paper writes down four unrelated reasons, each holding a different thing fixed. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, finite variance is a condition and not a decoration. Averaging a thousand normal draws shrinks the spread from $1.345$ to $0.0427$; averaging a thousand Cauchy draws moves it from $2.003$ to $2.017$, which is nothing at all、the quartiles matched those of a single draw (Section 2).

Second, stability alone does not pick the gaussian. Both the normal and the Cauchy are stable, with relative gaps under $0.004$、stability is a family, not a point (Section 3).

Third, maximum entropy depends on what is held fixed. Fix the variance and the gaussian wins (measured $1.418$ against a theoretical ceiling of $1.419$); fix the mean and the exponential wins; fix the range and the uniform does (Section 4).

Fourth, and this is the core. Rotational invariance together with independent coordinates forces the gaussian、turning the product density by forty-five degrees changed it by $5.6\times10^{-17}$ for the gaussian alone. No sum and no limit appears anywhere (Section 5).

Fifth, the first attempt to check a fourth characterisation failed. Measuring the correlation of the sample mean with the sample variance gave zero for the normal, the uniform and the Laplace alike. Every symmetric law does that、correlating with the square of the mean instead gives $+0.0006$ for the gaussian against $-0.300$ and $+0.299$ (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/187/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/187 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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