Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文204 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/204 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22110032）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文204】固有値を数えたときのべきは、次元の半分である

@misc{yamagishi2026yoi204,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Power in the Eigenvalue Count Is Half the Dimension},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/204},
  doi = {10.5281/zenodo.22110032},
  note = {Preprint, edition 1}
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日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

振動の固有値を小さい順に数えると、その個数はべきで増える。本稿はそのべきが次元の半分であることを測り、先頭の項が何を聞き、何を聞かないかを数で分ける。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、べきは次元の半分である。箱のディリクレ固有値を数え、対数どうしを当てはめると、傾きは $0.500390$、$1.002513$、$1.516542$ であった（第2節）。

第二に、三次元での残りのずれは境界項である。上限を $3\times10^{3}$ から $3\times10^{5}$ へ上げると、傾きは $1.687516$、$1.602565$、$1.553497$、$1.529462$、$1.516542$ と単調に $1.5$ へ寄る（第3節）。

第三に、先頭の係数は体積を返す。一次元で $0.999916$、二次元で $0.998424$、三次元で $0.987066$ の比で復元でき、不足はつねに低い側であった（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。先頭項は面積しか聞いていない。面積が等しい四つの長方形で、先頭項はどれも $15915.5$ なのに、実際の個数は $15782$、$15745$、$15619$、$15309$ である。周長の項を引くと、四つの比が $1.000562$、$1.000473$、$1.000385$、$0.998162$ に揃う（第5節）。

第五に、このべきは論文199 のべきと同じものである。熱核のトレースを当てはめると傾きは $-0.498008$、$-0.994768$、$-1.506079$ であり、格子上の酔歩の帰還確率と同じ $d/2$である（第6節）。

Abstract

Counting the eigenvalues of a vibration from the bottom up, the number grows like a power. This paper measures that the power is half the dimension, and separates numerically what the leading term hears and what it does not. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, the power is half the dimension. Counting Dirichlet eigenvalues of a box and fitting the logarithms, the slopes are $0.500390$, $1.002513$ and $1.516542$ (Section 2).

Second, the residue in three dimensions is the boundary term. Raising the ceiling from $3\times10^{3}$ to $3\times10^{5}$ moves the slope through $1.687516$, $1.602565$, $1.553497$, $1.529462$, $1.516542$、monotonically toward $1.5$ (Section 3).

Third, the leading coefficient returns the volume. It is recovered at ratios $0.999916$, $0.998424$ and $0.987066$, and the shortfall is always on the low side (Section 4).

Fourth, this is the core. The leading term hears only the area. For four rectangles of equal area the leading term is $15915.5$ in every case, while the actual counts are $15782$, $15745$, $15619$ and $15309$、subtracting the perimeter term brings the four ratios into line at $1.000562$, $1.000473$, $1.000385$ and $0.998162$ (Section 5).

Fifth, this power is the same power as in Paper 199. Fitting the heat trace gives $-0.498008$, $-0.994768$ and $-1.506079$, the same $d/2$ as the return probability of a lattice walk (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/204/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/204 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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