Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文224 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/224 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22120836）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文224】どこを触っても平らで、それでも合計は 4π である

@misc{yamagishi2026yoi224,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Flat Wherever You Touch It, and Four Pi in Total},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/224},
  doi = {10.5281/zenodo.22120836},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

多面体の表面は、どの点を取っても平らである。面の内側は平面であり、稜線も紙のように開けば平らになる。それでも曲率の総和は $4\pi$である。本稿はこの二つがどちらも真であることを数で示す。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、正多面体はどれも $4\pi$ である。正四面体は $\pi$ が四つ、立方体は $\pi/2$ が八つ、正八面体は $2\pi/3$ が六つ、正二十面体は $\pi/3$ が十二、どれも合計 $12.566370614359$である（第2節）。

第二に、細かくしても合計は動かない。頂点を $12,42,162,642$ と増やすと、一点あたりの欠損は $1.047$ から $0.0228$ まで落ちるのに、合計は十四桁目まで同じであった（第3節）。

第三に、これが本稿の芯である。同じ作り方でトーラスを組むと、合計はちょうど $0$になる。正の欠損 $+12.3236$ と負の欠損 $-12.3236$ が完全に打ち消し合う（第5節）。

第四に、負の欠損は「凹ませる」ことでは作れなかった。面の中心を押し込んでも欠損は $\mathbf{+2.384}$ のままである。凹みは裏返った錐にすぎず、負になるのは鞍点だけであった（第7節）。

第五に、切り欠きを入れると負が出る。立方体の隅を欠くと三つの頂点がちょうど $-\pi/2$を持ち、正の側は $+17.2788$、負の側は $-4.7124$、それでも合計は $4\pi$であった（第7節）。

Abstract

The surface of a polyhedron is flat at every point of it、the inside of a face is a plane, and an edge unrolls flat like paper. And the total curvature is $4\pi$ all the same. This paper shows in numbers that both of these are true. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, every regular solid gives $4\pi$. A tetrahedron has four defects of $\pi$, a cube eight of $\pi/2$, an octahedron six of $2\pi/3$ and an icosahedron twelve of $\pi/3$、each totalling $12.566370614359$ (Section 2).

Second, refining the solid does not move the total. Taking the vertices from $12$ to $42$ to $162$ to $642$, the largest single defect falls from $1.047$ to $0.0228$ while the total agrees to the fourteenth digit (Section 3).

Third, this is the core. Building a torus the same way gives exactly $0$、positive defects of $+12.3236$ and negative ones of $-12.3236$ cancelling completely (Section 5).

Fourth, a negative defect could not be made by denting. Pushing the centre of a face inwards leaves its defect at $\mathbf{+2.384}$、a dent is only a cone turned inside out, and only a saddle goes negative (Section 7).

Fifth, a notch does produce one. Cutting a corner out of a cube gives three vertices of exactly $-\pi/2$, with $+17.2788$ on the positive side and $-4.7124$ on the negative、and the total is $4\pi$ still (Section 7).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/224/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/224 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ