Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文269 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/269 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22169855）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文269】結晶が禁じているのは対称性ではなく、周期性である

@misc{yamagishi2026yoi269,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What a Crystal Forbids Is Not the Symmetry but the Periodicity},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/269},
  doi = {10.5281/zenodo.22169855},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

結晶には五回対称が現れない、と言われる。本稿が問うのは、何が禁じているのかである。答は、対称性ではない。禁じているのは並進であり、並進を外すと $5$ は戻ってくる。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、条件を整数で書く。格子と両立する $n$ 回回転は、$2\cos(2\pi/n)$ が整数であるものに限る（第2節）。

第二に、許されるのは五つだけである。$n=1,2,3,4,6$ が $+2,-2,-1,0,+1$ を返す。整数はこの五つで尽きる（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。$n=5$ は $\mathbf{0.618033989}$ を返す。整数でないので禁じられる（第3節）。

第四に、その値には名前がある。$0.618033989$ は黄金比の逆数 $1/\varphi$ そのものであり、差は $\mathbf{1.11\times10^{-16}}$（計算機の丸め）である（第3節）。

第五に、禁じているのは並進である。並進を外すと、$0.618033989$ を返す $5$ 回対称が許される。準結晶とペンローズ・タイルが乗っているのは、まさにこの数である（第4節）。

第六に、点呼。二次元の壁紙群 $\mathbf{17}$、三次元の空間群 $\mathbf{230}$、結晶点群 $\mathbf{32}$、ブラヴェ格子 $\mathbf{14}$、どれも有限で、どれも $5$ を含まない（第5節）。

Abstract

Fivefold symmetry, it is said, does not occur in crystals.This paper asks what forbids it、the answer is not the symmetry.What forbids it is the translation, and remove the translation and the $5$ comes back.No new mathematical theorem and no new law is claimed.

First, write the condition in integers.An $n$-fold rotation compatible with a lattice must have $2\cos(2\pi/n)$ an integer(Section 2).

Second, only five are allowed.$n=1,2,3,4,6$ return $+2,-2,-1,0,+1$、and the integers are exhausted by these five(Section 2).

Third, this is the core of the paper.$n=5$ returns $\mathbf{0.618033989}$、not an integer, and so forbidden(Section 3).

Fourth, that value has a name.$0.618033989$ is the reciprocal of the golden ratio, $1/\varphi$, itself, agreeing to within $\mathbf{1.11\times10^{-16}}$ (machine rounding)(Section 3).

Fifth, what forbids it is the translation.Remove the translation and the fivefold symmetry returning $0.618033989$ is allowed、quasicrystals and the Penrose tiling stand on exactly this number(Section 4).

Sixth, a roll call.Wallpaper groups in two dimensions $\mathbf{17}$, space groups in three $\mathbf{230}$, crystallographic point groups $\mathbf{32}$, Bravais lattices $\mathbf{14}$、all finite, and not one of them contains a $5$(Section 5).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/269/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/269 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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