Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文304 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/304 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22172081）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文304】「容量」は、無限長でしか達成できない数である

@misc{yamagishi2026yoi304,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {``Capacity'' Is a Number Attainable Only at Infinite Length},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/304},
  doi = {10.5281/zenodo.22172081},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

シャノンの符号化定理は、通信路容量 $C$ より低い速度なら誤りを任意に小さくできると言う。本稿が問うのは、$C$ そのものは達成できるかである。答は、どんな有限の符号長でも達成できないである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、容量は誤り率から決まる。二元対称通信路で $C=1-h(p)$ であり、$p=0.5$ で $C=\mathbf{0}$ になる（第2節）。

第二に、これが本稿の芯である。符号長 $n=100$ では、容量の $\mathbf{41.68\%}$ しか使えない（第3節）。

第三に、$99\%$ に届くには $n=3.4\times10^{5}$ が要る。$99.99\%$ なら $\mathbf{3.4\times10^{9}}$ である（第3節）。

第四に、損失は $1/\sqrt{n}$ でしか減らない。$n$ を $\mathbf{100}$ 倍にして、損失は $10$ 分の一である（第4節）。

第五に、$C$ は最大値ではない。$R=C$ ちょうどはどの $n$ でも達成されず、$n\to\infty$ ではじめて $R\to C$ になる（第5節）。

第六に、分離子は「達成される最大値か、達成されない上限か」である（第6節）。

Abstract

Shannon’s coding theorem says that below the channel capacity $C$ the error can be made arbitrarily small.This paper asks whether $C$ itself is attainable、the answer is not at any finite blocklength.No new mathematical theorem and no new law is claimed.

First, capacity is fixed by the error rate.For the binary symmetric channel $C=1-h(p)$, and $C=\mathbf{0}$ at $p=0.5$ (Section 2).

Second, this is the core of the paper.At blocklength $n=100$, only $\mathbf{41.68\%}$ of the capacity is usable (Section 3).

Third, reaching $99\%$ takes $n=3.4\times10^{5}$.Reaching $99.99\%$ takes $\mathbf{3.4\times10^{9}}$ (Section 3).

Fourth, the loss falls only as $1/\sqrt{n}$.Multiply $n$ by $\mathbf{100}$ and the loss is one tenth (Section 4).

Fifth, $C$ is not a maximum.$R=C$ is attained at no $n$, and only as $n\to\infty$ does $R\to C$ (Section 5).

Sixth, the separator is an attained maximum against an unattained supremum (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/304/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/304 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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