Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文413 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/413 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22699750）。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月8日 13:05 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi413,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Adding One Peg Destroys the Closed Form},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/413},
  doi = {10.5281/zenodo.22699750},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969410・969412・969440・969461 に記録されました（2026年10月01日 16:10（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ハノイの塔は、柱が三本なら $2^{n}-1$ 手で終わる。柱を一本足すと、手数は劇的に減る。本稿が示すのは、減るのに式が書けなくなることである。易しくなることと、閉じた式があることは別の話である。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、三本柱の $n=64$ は $18{,}446{,}744{,}073{,}709{,}551{,}615$ 手であり、これは $2^{64}-1$ にちょうど一致する（第2節）。

第二に、一秒に一手なら $\mathbf{5.8454\times10^{11}}$ 年、宇宙の年齢の $\mathbf{42.3581}$ 倍かかる（第2節）。

第三に、これが本稿の芯である。柱を一本足すと $n=64$ が $\mathbf{18{,}433}$ 手になる。$\mathbf{1.0007\times10^{15}}$ 倍の短縮だが、その $18{,}433$ を $n$ の式で書く方法が三本柱と同じ形では出てこない（第3節）。

第四に、短縮の効きは $n$ で大きく変わる。$n=5$ で $2.38$ 倍、$n=20$ で $3628.29$ 倍、$n=30$ で $1{,}047{,}553$ 倍である（第3節）。

第五に、三本柱の $2^{n}-1$ は漸化式 $T(n)=2T(n-1)+1$ と $n=2$ から $29$ まで完全に一致する（第2節）。

第六に、分離子は「一手で何が決まるか」である。三本では次の一手が一意で、四本では分割点を選ばなければならない（第4節）。

Abstract

With three pegs the Tower of Hanoi takes $2^{n}-1$ moves.Add a peg and the count falls dramatically.This paper shows that it falls and the formula disappears、becoming easier and having a closed form are separate matters.No new theorem or law is claimed.

First, with three pegs $n=64$ takes $18{,}446{,}744{,}073{,}709{,}551{,}615$ moves, exactly $2^{64}-1$ (Section 2).

Second, at one move a second that is $\mathbf{5.8454\times10^{11}}$ years, or $\mathbf{42.3581}$ times the age of the universe (Section 2).

Third, this is the core of the paper.Add a peg and $n=64$ becomes $\mathbf{18{,}433}$ moves, a factor of $\mathbf{1.0007\times10^{15}}$、but no formula in $n$ of the kind that works for three pegs produces that $18{,}433$ (Section 3).

Fourth, how much is saved depends strongly on $n$: a factor of $2.38$ at $n=5$, $3628.29$ at $n=20$, and $1{,}047{,}553$ at $n=30$ (Section 3).

Fifth, the closed form $2^{n}-1$ agrees with the recursion $T(n)=2T(n-1)+1$ for every $n$ from $2$ to $29$ (Section 2).

Sixth, the separator is what a single move settles. With three pegs the next move is forced; with four, a split point must be chosen (Section 4).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/413/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/413 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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