Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文917 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/917 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月10日 12:20 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi917,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {How Hard a Stone Must Be Shaken to Topple Is Set by Shape Alone When Slow, but Larger Stones Need More When the Shaking Is Brief},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/917},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

積んだ石は、横向きの揺れで倒れるか滑る。本稿は、すべらない長方形の石を一つの剛体と置き、倒れる閾値が大きさに依らない場合と依る場合を、静かに続く加速度と一周期の正弦の揺れで数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、続く横の加速度では、倒れるか滑るかは二つの比で決まる。倒れ始めるのは加速度が重力の加速度の「幅/高さ」倍を超えたとき、滑り始めるのは摩擦係数倍を超えたときで、小さいほうが先に起きる。幅と高さを $10$ 倍にしても倒れる閾値は同じだった（差 $0$）（第2節）。

第二に、一周期の短い揺れでは、大きい石ほど倒すのに強い揺れが要る。幅/高さ $0.2$ の石を周期 $0.5$ 秒の正弦で一周期揺らすと、倒れる最小の振幅は高さ $0.490$ m で $0.26 g$、$0.981$ m で $0.30 g$、$1.961$ m で $0.44 g$、$3.922$ m で $1.03 g$ だった（第3節）。

第三に、大きい石ほど傾く速さが遅い。揺れの式の $p=\sqrt{3g/4R}$ は四つの大きさで $5.424016$ から $1.917679$ /s に下がり、揺れ戻りの時間 $2\pi/p$ と揺れの周期の比は $2.316802$ から $\mathbf{6.552905}$ に上がった（第3節）。

第四に、長い揺れでは、大きさは消えて形だけが残る。周期 $20$ 秒の揺れでは、高さ $0.490$ m と $3.922$ m の二つとも $0.205 g$ で倒れ、$0.19 g$ ではどちらも倒れなかった。模型は、自由な揺れでエネルギーを $9.65\times10^{-6}$ 以内で保ち、刻みを $4$ 分の $1$ にしても判定が変わらなかった（第3節）。

第五に、分離子は、揺れの周期が石の揺れ戻りの時間より長いか短いかである。長ければ閾値は形の比だけで決まり、短ければ揺れ戻りの時間を通して大きさが入る。着地の跳ね返りの係数 $\mathbf{0.942308}$ も材料ではなく形から決まった（第4節）。

キーワード：剛体の転倒、滑動、ハウスナーの揺れる剛体、跳ね返りの係数、寸法効果、一周期の揺れ

Abstract

A stacked stone, shaken sideways, topples or slides.This paper treats a rectangular stone that does not slip as a single rigid body and counts, for a sustained acceleration and for one cycle of sinusoidal shaking, when the toppling threshold is independent of size and when it is not.No new theorem or law is claimed.

First, under a sustained sideways acceleration, toppling or sliding is decided by two ratios: toppling begins when the acceleration exceeds width over height times gravity, sliding when it exceeds the friction coefficient times gravity, and the smaller happens first. Scaling width and height by $10$ left the toppling threshold unchanged (difference $0$) (Section 2).

Second, in one brief cycle of shaking, a larger stone needs stronger shaking to topple: shaking a stone of width over height $0.2$ through one sinusoidal cycle of period $0.5$ s, the smallest toppling amplitude was $0.26 g$ at a height of $0.490$ m, $0.30 g$ at $0.981$ m, $0.44 g$ at $1.961$ m and $1.03 g$ at $3.922$ m (Section 3).

Third, a larger stone tips more slowly: the $p=\sqrt{3g/4R}$ of the rocking equation fell from $5.424016$ to $1.917679$ per second over the four sizes, and the ratio of the rocking time $2\pi/p$ to the period of shaking rose from $2.316802$ to $\mathbf{6.552905}$ (Section 3).

Fourth, in slow shaking, size disappears and only shape remains: with shaking of period $20$ s, stones of height $0.490$ m and $3.922$ m both toppled at $0.205 g$, and neither toppled at $0.19 g$. The model kept the energy of free rocking within $9.65\times10^{-6}$, and a time step four times smaller did not change the verdicts (Section 3).

Fifth, the separator is whether the period of shaking is longer or shorter than the stone’s rocking time: if longer, the threshold is set by the ratio of shape alone; if shorter, size enters through the rocking time. The coefficient of restitution at landing, $\mathbf{0.942308}$, was also set by shape, not by material (Section 4).

Keywords: toppling of rigid bodies, sliding, Housner rocking block, coefficient of restitution, size effect, one-cycle pulse

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/917/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/917 はいつも最新の版を指します）。

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