Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文931 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/931 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月11日 18:20 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi931,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {With the Same Mean Residence Time, Splitting a Mixed Vessel into More Tanks in Series Lets Less Leave Early and Brings Reaction Close to Plug Flow},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/931},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

液や気体を流しながら中をよく混ぜる箱では、入ったものの一部はすぐに出て、一部は長く残る。本稿は、合計の平均の滞在時間を変えずに、よく混ぜた箱を $N$ 個に分けて直列につないだとき、早く出る割合・遅く出る割合・一次反応の残りがどう変わるかを数え、粒子の乱数で確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、一つの箱では、平均の半分より早く出るものが四割近くある。箱一つで平均の半分より早く出る割合は $\mathbf{0.393469}$、平均の二倍より遅く出る割合は $0.135335$ だった（第2節）。

第二に、箱を増やすと、早く出る分も遅く出る分も減る。早く出る割合は箱二つで $0.264241$、五つで $0.108822$、十で $0.031828$、三十で $0.000418$ になり、滞在時間の分散は平均の二乗の $1/N$ に縮んだ（第2節）。

第三に、一次反応の残りは、押し出し流れに近づく。反応の速さと平均の滞在時間の積を $2$ とすると、残りは箱一つで $0.333333$、二つで $0.250000$、十で $0.161506$、百で $\mathbf{0.138033}$ と単調に減り、箱が無限の押し出し流れの $\mathbf{0.135335}$ に近づいた（第3節）。

第四に、粒子の乱数でも同じになる。粒子 $20000$ 個に箱ごとの滞在時間を乱数で与えると、箱五つで早く出る割合 $0.104150$（式 $0.108822$）、反応の残り $0.184687$（式 $0.185934$）だった（第4節）。

第五に、分離子は、平均の滞在時間を見るか、滞在時間のばらつきを見るかである。平均はどの箱の数でも同じだが、一次反応の残りはすぐ抜ける分に引きずられ、ばらつきが縮むほど押し出し流れに近づく（第5節）。

キーワード：滞在時間分布、完全混合、槽列モデル、押し出し流れ、一次反応、アーラン分布

Abstract

In a vessel that is well mixed while fluid flows through, some of what enters leaves at once and some stays long.This paper keeps the total mean residence time fixed, splits the well-mixed vessel into $N$ tanks in series, counts how the fractions leaving early and late and the remaining fraction of a first-order reactant change, and confirms them with random particles.No new theorem or law is claimed.

First, with one tank, nearly four tenths leave before half the mean time: in a single tank the fraction leaving before half the mean is $\mathbf{0.393469}$, and the fraction leaving after twice the mean is $0.135335$ (Section 2).

Second, adding tanks reduces both what leaves early and what leaves late: the early fraction became $0.264241$ with two tanks, $0.108822$ with five, $0.031828$ with ten and $0.000418$ with thirty, and the variance of residence time shrank to $1/N$ of the squared mean (Section 2).

Third, the remaining first-order reactant approaches plug flow: with the product of rate constant and mean residence time equal to $2$, the remaining fraction fell monotonically from $0.333333$ with one tank to $0.250000$ with two, $0.161506$ with ten and $\mathbf{0.138033}$ with a hundred, approaching the $\mathbf{0.135335}$ of plug flow with infinitely many tanks (Section 3).

Fourth, random particles give the same: giving $20000$ particles random residence times in each tank, five tanks gave an early fraction of $0.104150$ (formula $0.108822$) and a remaining fraction of $0.184687$ (formula $0.185934$) (Section 4).

Fifth, the separator is whether the mean residence time is looked at or its spread: the mean is the same for any number of tanks, but the remaining first-order reactant is pulled up by what slips through early, and the more the spread shrinks, the closer the outlet comes to plug flow (Section 5).

Keywords: residence time distribution, well-mixed tank, tanks-in-series model, plug flow, first-order reaction, Erlang distribution

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/931/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/931 はいつも最新の版を指します）。

YOI の一覧へ