Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文934 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/934 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月12日 7:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi934,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Diminishing Returns Answers What Happens When One Input Grows; Scale All Inputs Together and Output Can More Than Double},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/934},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「収穫逓減」は、投入を増やすほど一単位あたりの上乗せが減ることを指す。本稿は、資本と人の二つの投入による生産を冪の積の式（コブ＝ダグラス型）で置き、人だけを増やしたときと、二つを同じ割合で増やしたときの生産の増え方を、三つの冪の組で数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、人の限界の生産は、人を増やすほど減る。資本の冪 $0.3$・人の冪 $0.8$ の式で、資本を $1$ に保ち人を $1$・$2$・$4$・$8$ にすると、人を一人足したときの上乗せは $0.800000$・$0.696440$・$0.606287$・$0.527803$ と減った（第2節）。

第二に、人だけを倍にすると、生産は倍に届かない。人だけを倍にしたときの生産は $\mathbf{1.741101}$ 倍で、人を $1$ から $10$ 人にすると一人あたりの生産は $0.630957$ に下がった（第2節）。

第三に、資本と人を同じ割合で倍にすると、生産は倍を超える。同じ式で両方を倍にすると生産は $\mathbf{2.143547}$ 倍で、両方を $10$ 倍にすると一人あたりの生産は $1.258925$ に上がった（第3節）。

第四に、逓減はどの組でも起き、規模での増え方は冪の和で決まる。冪の和が $1$ の組では両方を倍にして $2.000000$ 倍、$0.9$ の組では $1.866066$ 倍で、三つの組とも人の限界の生産は減った。資本と人の限界の生産にそれぞれの量を掛けた和は、生産の冪の和倍に差 $3.9\times10^{-10}$ 以内で一致した（第3節）。

第五に、分離子は、一つの投入だけを増やすか、全部を同じ割合で増やすかである。一つだけを増やす問いには逓減が答え、全部を同じ割合で増やす問いには冪の和が答える。二つは別の問いなので、逓減していても規模では倍を超えうる（第4節）。

キーワード：収穫逓減、規模に関する収穫、限界生産、生産関数、コブ＝ダグラス型、オイラーの定理

Abstract

“Diminishing returns” refers to the addition per unit of input shrinking as the input increases.This paper sets production from two inputs, capital and workers, as a product of powers (the Cobb-Douglas form), and counts for three pairs of exponents how output grows when only workers increase and when both increase in the same proportion.No new theorem or law is claimed.

First, the marginal product of workers falls as workers increase: with capital exponent $0.3$ and worker exponent $0.8$, holding capital at $1$ and raising workers to $1$, $2$, $4$ and $8$, the addition from one more worker fell as $0.800000$, $0.696440$, $0.606287$ and $0.527803$ (Section 2).

Second, doubling workers alone does not double output: doubling only workers multiplied output by $\mathbf{1.741101}$, and going from $1$ to $10$ workers lowered output per worker to $0.630957$ (Section 2).

Third, doubling capital and workers in the same proportion more than doubles output: in the same form, doubling both multiplied output by $\mathbf{2.143547}$, and raising both tenfold raised output per worker to $1.258925$ (Section 3).

Fourth, diminishing returns occur in every pair, and growth with scale is set by the sum of exponents: doubling both gave $2.000000$ for the pair summing to $1$ and $1.866066$ for the pair summing to $0.9$, and in all three pairs the marginal product of workers fell. The sum of each input times its marginal product matched output times the sum of exponents within $3.9\times10^{-10}$ (Section 3).

Fifth, the separator is whether one input alone is increased or all inputs in the same proportion: diminishing returns answers the question of increasing one input; the sum of exponents answers the question of increasing all in the same proportion. They are different questions, so output can more than double with scale even while returns diminish (Section 4).

Keywords: diminishing returns, returns to scale, marginal product, production function, Cobb-Douglas form, Euler’s theorem

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/934/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/934 はいつも最新の版を指します）。

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