Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文935 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/935 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月12日 9:20 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi935,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Proportion an Up-Down Method Tracks Is Chosen by Its Rule, and with an Asymmetric Rule the Converged Level Shifts Up in Proportion to the Step},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/935},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

感覚の閾を測る上下法は、正しく答えたら刺激を弱め、間違えたら強めることを繰り返して、刺激をある強さのまわりに集める。本稿は、答えの割合が正規分布の累積で決まる観察者を乱数で置き、何回続けて正しければ下げるかという三つの規則で、刺激がどの点に集まり、そこで正しい答えの割合がいくらになるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、規則が追う割合を選ぶ。$k$ 回続けて正しいときに下げ、一回間違えたら上げる規則は、正しい答えの割合が $0.5$ の $k$ 乗根になる点を追う。$k=1$・$2$・$3$ で割合は $0.500000$・$\mathbf{0.707107}$・$0.793701$、刺激の点は $0$・$0.544952$・$0.819329$ である（第2節）。

第二に、一回ずつの規則は、目標の点にちょうど集まる。歩幅 $0.1$ で $1000$ 回×$600$ 試行の後半を平均すると、集まった点は $0.001071$（標準誤差 $0.001959$）で、目標 $0$ と区別できなかった（第2節）。

第三に、非対称な規則では、集まる点が目標より上にずれる。二回で下げる規則は $\mathbf{0.558204}$（ずれ $+0.013252$）、三回で下げる規則は $0.836896$（$+0.017567$）で、どちらも標準誤差の三倍を超えた。それでも集まった区間での正しい答えの割合は $0.706395$ と $0.792878$ で、目標の割合と $0.002$ 以内だった（第3節）。

第四に、ずれは歩幅に比例して大きくなる。二回で下げる規則で歩幅を $0.1$・$0.5$・$1.0$ にすると、ずれは $0.012337$・$0.068678$・$\mathbf{0.135898}$ で、ずれを歩幅で割ると $0.123374$・$0.137356$・$0.135898$ だった（第3節）。

第五に、分離子は、下げるまでに続けて求める正しい答えの回数である。その回数が、観察者のどの割合の点を閾と呼ぶかを決める。回数が一より大きいと上がる側と下がる側の歩みが対称でなくなり、刺激の点は歩幅に比例して上に寄る（第4節）。

キーワード：上下法、心理測定関数、閾値、変形上下法、歩幅、推定のずれ

Abstract

The up-down method for measuring sensory thresholds weakens the stimulus after a correct answer and strengthens it after an error, gathering the stimulus around some level.This paper sets up a random observer whose proportion of correct answers follows the cumulative normal distribution, and counts, for three rules on how many consecutive correct answers trigger a step down, where the stimulus converges and what proportion of correct answers holds there.No new theorem or law is claimed.

First, the rule chooses the proportion tracked: a rule stepping down after $k$ consecutive correct answers and up after one error tracks the point where the proportion correct is the $k$-th root of $0.5$. For $k=1$, $2$, $3$ the proportions are $0.500000$, $\mathbf{0.707107}$ and $0.793701$, at stimulus levels $0$, $0.544952$ and $0.819329$ (Section 2).

Second, the one-each-way rule converges exactly on its target: averaging the latter part of $1000$ runs of $600$ trials at step $0.1$, the converged level was $0.001071$ (standard error $0.001959$), indistinguishable from the target $0$ (Section 2).

Third, with asymmetric rules the converged level shifts above the target: the two-in-a-row rule gave $\mathbf{0.558204}$ (shift $+0.013252$) and the three-in-a-row rule $0.836896$ ($+0.017567$), both beyond three standard errors. Even so, the proportions correct over the converged stretch were $0.706395$ and $0.792878$, within $0.002$ of the target proportions (Section 3).

Fourth, the shift grows in proportion to the step: with the two-in-a-row rule at steps $0.1$, $0.5$ and $1.0$, the shift was $0.012337$, $0.068678$ and $\mathbf{0.135898}$, and dividing by the step gave $0.123374$, $0.137356$ and $0.135898$ (Section 3).

Fifth, the separator is the number of consecutive correct answers required before stepping down: that number decides which proportion of the observer’s responses is called the threshold. When it exceeds one, steps up and down are no longer symmetric, and the stimulus level drifts upward in proportion to the step (Section 4).

Keywords: up-down method, psychometric function, threshold, transformed up-down method, step size, estimation bias

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/935/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/935 はいつも最新の版を指します）。

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