Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文942 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/942 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月12日 19:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi942,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Bending Stiffness Sharpens Overtones Past Whole Multiples, and at the Same Pitch a Thicker String Strays Further},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/942},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

理想の弦は張力だけで元に戻るので、倍音の振動数は基音のちょうど整数倍になる。本稿は、鋼の弦に曲げの硬さを入れた倍音の式で、整数倍からのずれをセントで数え、同じ高さに合わせた太さの違う二本で比べ、式を差分の固有値で確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、曲げの硬さがあると、番号の大きい音ほど整数倍より高くずれる。長さ $0.648$ m・直径 $1.0$ mm の鋼の弦を $330$ Hz に合わせると、ずれの係数は $B=2.046219\times10^{-4}$ で、$n=2$・$5$・$10$・$20$ の音は整数倍より $0.5311$・$4.2397$・$17.3565$・$\mathbf{67.9222}$ セント高かった（第2節）。

第二に、同じ高さに合わせると、細い弦はずれが小さい。直径 $0.5$ mm では $B=5.115549\times10^{-5}$ で、$n=20$ の音のずれは $\mathbf{17.4894}$ セントだった。係数の比は $\mathbf{4.000000}$ で、直径の二乗に比例した（第2節）。

第三に、同じ高さの太い弦は、張力も大きい。直径 $1.0$ mm の張力は $1127.710$ N、$0.5$ mm は $281.927$ N だった。太さを増すと、曲げの硬さは張力より速く増える（第2節）。

第四に、式は差分の固有値と合った。両端を支えた弦を $1500$ 点の差分にして固有値を解くと、$n=1$・$2$・$5$・$10$・$20$ の振動数は式と相対差が一万分の一未満で合い、$n=20$ では $6864.2502$ Hz 対 $6864.7893$ Hz だった（第3節）。

第五に、分離子は、弦を戻す力を張力だけで数えるか、曲げの硬さも数えるかである。張力だけなら波の速さは振動数に依らず、倍音は整数倍に並ぶ。曲げの硬さは短い波ほど強く戻すので、番号の大きい音ほど高くなる（第4節）。

キーワード：非調和性、曲げ剛性、弦の振動、倍音、セント、ヤング率

Abstract

An ideal string is restored by tension alone, so its overtone frequencies are exact whole multiples of the fundamental.This paper uses the overtone formula for a steel string with bending stiffness, counts the departure from whole multiples in cents, compares two strings of different thickness tuned to the same pitch, and checks the formula against eigenvalues of a finite-difference model.No new theorem or law is claimed.

First, with bending stiffness, the higher-numbered tones are pushed further above whole multiples: a steel string $0.648$ m long and $1.0$ mm in diameter tuned to $330$ Hz has coefficient $B=2.046219\times10^{-4}$, and the tones $n=2$, $5$, $10$ and $20$ were $0.5311$, $4.2397$, $17.3565$ and $\mathbf{67.9222}$ cents above whole multiples (Section 2).

Second, tuned to the same pitch, a thinner string strays less: at $0.5$ mm diameter $B=5.115549\times10^{-5}$ and the tone $n=20$ strayed $\mathbf{17.4894}$ cents. The ratio of coefficients was $\mathbf{4.000000}$, proportional to the square of the diameter (Section 2).

Third, a thicker string at the same pitch also carries more tension: the tension was $1127.710$ N at $1.0$ mm and $281.927$ N at $0.5$ mm. As thickness grows, bending stiffness grows faster than tension (Section 2).

Fourth, the formula matched finite-difference eigenvalues: solving the eigenvalues of the string supported at both ends with $1500$ difference points, the frequencies for $n=1$, $2$, $5$, $10$ and $20$ matched the formula to a relative difference below one ten-thousandth, $6864.2502$ Hz against $6864.7893$ Hz at $n=20$ (Section 3).

Fifth, the separator is whether the restoring force of the string is counted from tension alone or with bending stiffness too: with tension alone the wave speed does not depend on frequency and the overtones line up at whole multiples. Bending stiffness restores short waves more strongly, so higher-numbered tones go sharper (Section 4).

Keywords: inharmonicity, bending stiffness, string vibration, overtones, cents, Young’s modulus

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/942/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/942 はいつも最新の版を指します）。

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