Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文947 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/947 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月13日 12:20 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi947,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {A Spinning Rope Is Not a Catenary: Shallow It Is Close to a Sine Arch, Wide Open Close to a Parabola},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/947},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

縄跳びの縄のように、両端を回転の軸の上に持って速く回すと、縄は外へ膨らんだ弧になる。本稿は、重さを入れずに回る縄のつり合いの式を数値で解き、同じ長さの正弦の弧・放物線・懸垂線と形を比べ、必要な張りを求める。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、浅い極限では、縄の形は正弦の弧で、張りは決まった値に近づく。真ん中の高さを小さくすると、形の半分の幅は $1.570796326$ で $\pi/2=1.570796327$ に一致し、張りは $\mu\omega^2a^2$ の $0.405285$ 倍（$4/\pi^2$）になった（第2節）。

第二に、浅く回すと、正弦の弧がいちばん近い。長さが端の間隔の $1.05$ 倍では、形のずれの最大は高さの $\mathbf{0.003160}$ 倍（正弦）・$0.036839$ 倍（放物線）・$0.040748$ 倍（懸垂線）だった（第3節）。

第三に、大きく開くと、放物線のほうが近くなる。長さが間隔の $2$ 倍では、ずれは正弦 $0.059168$ 倍・放物線 $\mathbf{0.014000}$ 倍・懸垂線 $0.069937$ 倍だった。調べた四つの長さのどれでも、懸垂線からのずれがいちばん大きかった（第3節）。

第四に、張りはたるむほど上がる。長さが間隔の $1.05$・$1.2$・$1.5$・$2$ 倍で、張りは $\mu\omega^2a^2$ の $0.415386$・$0.445331$・$0.503784$・$\mathbf{0.597705}$ 倍だった。角で積む方法と横の位置で積む方法の二通りで、形の幅と長さは $6$ 桁一致した（第3節）。

第五に、分離子は、縄を曲げる力が軸からの距離に比例するか、どこでも同じかである。回る縄では軸から離れた真ん中ほど強く外へ引かれ、懸垂線ではどこでも同じ重さで引かれる。力の配り方の違いが、同じ長さの縄を別の形にする（第4節）。

キーワード：回る縄、懸垂線、正弦の弧、遠心力、張り、トロポスキーン

Abstract

When a rope held at both ends on the axis of rotation is spun fast, like a skipping rope, it bows out into an arc.This paper numerically solves the balance equation of a spinning rope without weight, compares its shape with a sine arch, a parabola and a catenary of the same length, and finds the tension required.No new theorem or law is claimed.

First, in the shallow limit the rope is a sine arch and the tension approaches a fixed value: as the midpoint height is made small, the half-width of the shape was $1.570796326$, matching $\pi/2=1.570796327$, and the tension became $0.405285$ ($4/\pi^2$) times $\mu\omega^2a^2$ (Section 2).

Second, spun shallow, the sine arch is closest: with the length $1.05$ times the spacing of the ends, the largest shape difference was $\mathbf{0.003160}$ (sine), $0.036839$ (parabola) and $0.040748$ (catenary) times the height (Section 3).

Third, opened wide, the parabola becomes closer: with the length twice the spacing, the differences were $0.059168$ (sine), $\mathbf{0.014000}$ (parabola) and $0.069937$ (catenary). At all four lengths examined, the difference from the catenary was the largest (Section 3).

Fourth, the tension rises the more the rope bows: with the length $1.05$, $1.2$, $1.5$ and $2$ times the spacing, the tension was $0.415386$, $0.445331$, $0.503784$ and $\mathbf{0.597705}$ times $\mu\omega^2a^2$. Integrating in angle and in horizontal position gave the half-width and length agreeing to $6$ digits (Section 3).

Fifth, the separator is whether the force bending the rope is proportional to distance from the axis or the same everywhere: a spinning rope is pulled outward more strongly at its middle, far from the axis, while a catenary is pulled by the same weight everywhere. How the force is distributed gives the same length of rope different shapes (Section 4).

Keywords: spinning rope, catenary, sine arch, centrifugal force, tension, troposkein

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/947/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/947 はいつも最新の版を指します）。

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