Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文980 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/980 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月16日 16:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi980,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Best Number of Trees to Measure per Plot Ignores the Budget, and Doubling or Halving It Costs the Same},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/980},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

層の境は度数の平方根の累積で等分すれば最適とほぼ同じで、本数で揃えるといちばん悪い（論文957）。そこでは、区画の中をさらに抜き取る二段の取り方と、測る費用の違いを扱わなかった。本稿は、957 の材積の分布（対数の平均 4.5・対数の標準偏差 0.8 の対数正規）を区画の効きと木の効きに分け、区画を $n$ 個、区画ごとに $m$ 本測るとき、区画一つの費用と一本の費用のもとで平均のばらつきを最も小さくする $m$ を、式と総当たりと乱数で出す。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、最良の本数は予算によらない。区画の効きの割合 0.1・区画の費用 20 で式の最良は $\mathbf{15.8518}$ 本、総当たりの最良は予算 1000・2000・5000 のどれでも 16 本だった。四つの組のどれでも、三つの予算で最良は同じだった（第2節）。

第二に、二倍に測っても半分に測っても、損は同じ：最良の二倍と半分の本数でばらつきは同じ $\mathbf{1.123327}$ 倍（割合 0.1・費用 20）になり、四つの組で $1.064604$ 倍から $1.123327$ 倍だった（第3節）。

第三に、損の大きさは一つの割合で決まる。最良のとき一本の費用の合計が区画の費用に占める割合を $a$ とすると、損は $a$ と外した倍率だけの式に $10^{-12}$ 以内で一致した。一本だけ測ると $\mathbf{4.432163}$ 倍、50 本全部測ると $1.362887$ 倍だった（割合 0.1・費用 20）（第3節）。

第四に、乱数で抜き取っても式どおり：集団から毎回新しく一万回引いた平均のばらつきは、六つの設定で式の $0.983340$ 倍から $\mathbf{1.033172}$ 倍だった（第4節）。

第五に、分離子は、ばらつきが区画の間にあるか、区画の中にあるか。区画の効きの割合を 0.1 から 0.3 にすると、費用 20 で最良は $15.8518$ 本から $\mathbf{8.0440}$ 本に減った。二つの分散の和は $13776.529821$ で同じだった（第5節）。

キーワード：二段抽出、標本調査、最適な抜き取り本数、調査の費用、分散の分解、森林調査

Abstract

Stratum boundaries at equal steps of cumulative root frequency come close to optimal, while equal counts do worst (Paper 957). Subsampling within plots and differences in measuring cost were not treated there.Splitting the timber-volume distribution of Paper 957 (log-normal with log mean 4.5 and log standard deviation 0.8) into a plot effect and a tree effect, this paper takes $n$ plots and $m$ trees per plot and finds, by formula, exhaustive search and random sampling, the $m$ that minimises the variance of the mean under a cost per plot and a cost per tree.No new theorem or law is claimed.

First, the best number does not depend on the budget: with plot-effect share 0.1 and plot cost 20, the formula gives $\mathbf{15.8518}$ trees, and exhaustive search gave 16 trees for budgets of 1000, 2000 and 5000 alike. In all four combinations the best was the same for the three budgets (Section 2).

Second, measuring twice or half as many costs the same: at twice and at half the best number the variance was the same $\mathbf{1.123327}$ times the best (share 0.1, cost 20), and $1.064604$ to $1.123327$ times across the four combinations (Section 3).

Third, the size of the loss is set by one share: with $a$ the share of the plot cost taken by the trees’ total cost at the best, the loss agreed within $10^{-12}$ with a formula in $a$ and the factor missed alone. Measuring one tree gave $\mathbf{4.432163}$ times and measuring all 50 gave $1.362887$ times (share 0.1, cost 20) (Section 3).

Fourth, random sampling follows the formula: the variance of the mean over ten thousand fresh draws from the population was $0.983340$ to $\mathbf{1.033172}$ times the formula in six settings (Section 4).

Fifth, the separator is whether the variation lies between plots or within them: raising the plot-effect share from 0.1 to 0.3 lowered the best number at cost 20 from $15.8518$ to $\mathbf{8.0440}$ trees. The sum of the two variances stayed at $13776.529821$ (Section 5).

Keywords: two-stage sampling, survey sampling, optimal subsample size, survey cost, variance decomposition, forest inventory

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/980/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/980 はいつも最新の版を指します）。

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