Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文1078 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1078 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月3日 9:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi1078,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Brightness of a Caustic Grows at a Rate Set by How Many Rays Meet There},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1078},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969378・969383・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 11:04（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

光線が集まって明るくなる線を焦線（コースティクス）という。虹も、コーヒーカップの底に映る光の模様も焦線である。光線だけで考えると、焦線の上の明るさは無限大になる。波として考えると明るさは有限になり、波の数を大きくするほど明るくなる。本稿は、その育ち方が何で決まるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、重なる光線の数。虹では、明るい側に二本、暗い側に 0 本の光線が来る（折り目）。コーヒーカップの模様では、尖った所の内側で三本、外側で一本の光線が通る（尖点）。

第二に、育ち方は重なる光線の数で決まる。虹のいちばん明るい所は波の数の 0.3388 乗、コーヒーカップの模様の尖点は 0.4967 乗、光線が全部一点に集まる放物面鏡の焦点は 1.0000 乗で明るくなった。m 本が重なるとき位相は m+1 乗で曲がり出し、明るさは 1 − 2/(m+1) 乗で育つ（二本で 1/3、三本で 1/2）。

第三に、過剰虹。虹の内側に並ぶ明るい縞の間隔は、水滴の大きさ（ka）の −0.6660 乗で狭くなり、エアリーの見積もりとの比は 0.999675 まで 1 に寄った。一つの色で、半径 0.1 mm の水滴なら 1.9897 度、1 mm なら 0.4269 度である。

第四に、これが本稿の芯である。完全な焦点は壊れ、尖点は残る。放物面鏡の焦点の 1 乗は、光を 0.02 ラジアン傾けるだけで壊れ、尖点のない一本の焦線になって、育ち方は 0.2667 乗から 0.3185 乗に落ちた。円の鏡を楕円にしても尖点は残り、0.4929 乗で育った。

正直に書くと、測り方の誤りを五つ直した。平面で安定に残る焦線が折り目と尖点だけだという分類は文献の結果で、本稿は一つの傾きと一つの楕円で確かめただけである。フレネル係数・偏光・色の混ざり・太陽の大きさは入れていないので、過剰虹が実際に見えるかは言わない。

キーワード：焦線、コースティクス、虹、過剰虹、エアリー積分、ピアシー積分、尖点、特異点の分類

Abstract

A line where light rays gather and brighten is called a caustic.A rainbow is a caustic, and so is the bright pattern on the bottom of a coffee cup.With rays alone, the brightness on a caustic is infinite.With waves, it stays finite, and it grows as the wavenumber is made larger.This paper counts what sets the rate of that growth.It claims no new theorem and no new law.

First, the number of rays that meet. In a rainbow, two rays arrive on the bright side and none on the dark side (a fold). In the coffee-cup pattern, three rays pass inside the pointed tip and one outside (a cusp).

Second, the growth is set by how many rays meet. The brightest point of the rainbow grew as the 0.3388 power of the wavenumber, the cusp of the coffee-cup pattern as the 0.4967 power, and the focus of a parabolic mirror, where all rays meet at one point, as the 1.0000 power. When m rays meet, the phase starts to bend at power m+1, and the brightness grows as the power 1 – 2/(m+1) (1/3 for two rays, 1/2 for three).

Third, the supernumerary bows. The spacing of the bright fringes inside the rainbow narrows as the -0.6660 power of the drop size (ka), and its ratio to Airy’s estimate approached 1 as closely as 0.999675. For one colour, it is 1.9897 degrees for a drop of radius 0.1 mm and 0.4269 degrees for 1 mm.

Fourth, and this is the core of the paper, a perfect focus breaks, and a cusp survives. The first-power growth at the focus of a parabolic mirror breaks when the light is tilted by only 0.02 radians: the caustic becomes a single curve without a cusp, and the growth drops to powers from 0.2667 to 0.3185. When the circular mirror is changed into an ellipse, the cusp survives and grows as the 0.4929 power.

To be candid, five errors in the measurement were corrected. That only folds and cusps survive as stable caustics in the plane is a result of the literature; this paper checked it with only one tilt and one ellipse. Fresnel coefficients, polarization, the mixing of colours and the size of the sun are not included, so nothing is said about whether supernumerary bows are actually seen.

Keywords: caustic, rainbow, supernumerary bow, Airy integral, Pearcey integral, cusp, fold, catastrophe optics

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年10月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/1078/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/1078 はいつも最新の版を指します）。

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