Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文124 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/124 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22057728）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文124】集約の三つの別根

@misc{yamagishi2026yoi124,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Three Distinct Roots of Aggregation},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/124},
  doi = {10.5281/zenodo.22057728},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

遠方にある多数の源を、少数の量で代表させてよい。この集約の許可は、少なくとも三つの場面で使われている。ガウスの法則、ニュートンの球殻定理、そして $N$ 体計算のバーンズ＝ハット法と高速多重極法（FMM）である。論文51 はこの許可の出所を一つに特定し、許可を与えているのは指数 $n=2$ であり $4\pi$ は答えに残らないと述べた。本稿はその特定がどこまで届いているかを測る。

結論は、三つとも同じ展開の上に立ちながら、項を捨てる理由が三つとも違う、である。

第一に、本当に共通しているものは一つだけあり、それは加法定理である。 $1/|x-y|$ のルジャンドル展開において、球殻定理は $l\ge1$ の項が消えると言い、FMM は $l>p$ の項が小さいと言う。同じ展開、項を捨てる理由が別である（第2節）。

第二に、三つの根の住所は次のとおりである。 ガウスの法則は調和性のみを要し対称性を要しないが、得られるのは束であって場ではない（第3節）。球殻定理は調和性かつ対称性を要し、そのかわり誤差が厳密にゼロである（第4節・厳密積分で確認）。バーンズ＝ハット法と FMM は調和性も対称性も要さず、要するのは幾何的分離と核の滑らかさだけであり、そのかわり誤差はゼロにならない（第5節）。

第三に、それゆえ論文51 の帰属は球殻定理には届くが、FMM には届かない。 指数が $2$ でない核、二次元の $\log r$、湯川 $e^{-r}/r$、ヘルムホルツ、$1/r^4$、ガウシアン、$1/\sqrt{r}$、のいずれでも遠方ブロックは低ランクに圧縮される（本稿で数値確認）。核非依存 FMM が存在すること自体が反例である（観察 5.4）。

第四に、逆に論文51 のもう一つの主張「$4\pi$ は答えに残らない」は、計算量の側から証明できる。 $4\pi$ は核の全体因子であり、数値ランクも計算量もスケール不変だからである（核を $1,\,4\pi,\,1/4\pi,\,10^6$ 倍してランクは $27$ で不動）。$4\pi$ は複雑度に入れない（定理 6.1）。

第五に、次元の入り方も別根である。 FMM に次元が入るのは子ノード数 $2^d$ と相互作用リスト長 $6^d-3^d$（三次元で $189$）であって、$d$ について指数的である。体系の次元signature $n=d-1$ は線形である（第7節）。新しい物理法則も新しい数学定理も主張しない。

Abstract

That a distant crowd of sources may be replaced by a few numbers、this licence to aggregate is used in at least three places: Gauss’s law, Newton’s shell theorem, and the Barnes–Hut and fast multipole methods (FMM) of $N$-body computation. Paper 51 traced that licence to a single origin, stating that what grants it is the exponent $n=2$, and that $4\pi$ does not survive into the answer. This paper measures how far that attribution reaches.

The conclusion is that all three stand on the same expansion while dropping its terms for three different reasons.

First, exactly one thing is genuinely shared, and it is the addition theorem. In the Legendre expansion of $1/|x-y|$, the shell theorem says the terms with $l\ge1$ vanish; FMM says the terms with $l>p$ are small. The same expansion; different reasons for dropping (Section 2).

Second, the addresses of the three roots are these. Gauss’s law requires harmonicity alone and no symmetry, but yields a flux rather than a field (Section 3). The shell theorem requires harmonicity and symmetry, and in return its error is exactly zero (Section 4; verified here by exact integration). Barnes–Hut and FMM require neither harmonicity nor symmetry, only geometric separation and smoothness of the kernel, and in return their error is never zero (Section 5).

Third, Paper 51’s attribution therefore reaches the shell theorem but not FMM. Kernels whose exponent is not $2$、the two-dimensional $\log r$, the Yukawa $e^{-r}/r$, Helmholtz, $1/r^4$, a Gaussian, $1/\sqrt{r}$、all compress to low rank in the far field (verified here numerically). The existence of kernel-independent FMM is itself the counterexample (Observation 5.4).

Fourth, conversely, Paper 51’s other claim、that $4\pi$ does not survive into the answer、can be proved from the side of complexity. $4\pi$ is an overall factor of the kernel, and both numerical rank and complexity are scale-invariant (scaling the kernel by $1$, $4\pi$, $1/4\pi$ and $10^6$ leaves the rank fixed at $27$). $4\pi$ cannot enter the complexity (Theorem 6.1).

Fifth, dimension enters by a different root as well. What carries the dimension in FMM is the child count $2^d$ and the interaction-list length $6^d-3^d$ ($189$ in three dimensions), exponential in $d$. The corpus’s dimensional signature $n=d-1$ is linear (Section 7). NO NEW PHYSICAL LAW AND NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/124/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/124 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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