Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文149 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/149 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22083590）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文149】分母を決めるのは行列式ではなく、最大不変因子である

@misc{yamagishi2026yoi149,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {What Fixes the Denominator Is Not the Determinant but the Largest Invariant Factor},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/149},
  doi = {10.5281/zenodo.22083590},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969390・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:43（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

本稿は体系自身にブレーキを当てる。論文39 は $(\hbar,G,c)$ の次元指数行列が $|\det|=2$ をもつゆえにプランク単位系の指数が半整数になると書き、論文03 は $(\nu,\varepsilon)$ が $|\det|=4$ をもつゆえにコルモゴロフ尺度が $\tfrac14$ 刻みになると書き、両者を「同じ定理」と呼んだ。その定理は上界の定理であって、等式の定理ではない。

第一に、量を写像に沿って運ぶことは一つの操作ではない。微分形式はどんな滑らかな写像に沿っても引き戻るが、ベクトル場は運べない。$f(x)=x^2$ では $y=1$ の上に $+2$ と $-2$ の二つの答が届く（第2節）。

第二に、形式と密度を分けるのは向きである。反転写像で形式は符号を変え、測度は変えない。前者は $\det$ を、後者は $|\det|$ を担う（第3節）。

第三に、体系の $|\det|$ の住所は、指数空間の体積である。次元指数行列は格子の射であり、$|\det|$ はその指数＝基本領域の体積である（本稿で格子点を数えて確認）。絶対値が付くのは、体積が向きを持たないからであり、第3節の $|\det|$ と同じ根である（第4節）。

第四に、これが本稿の芯である。$|\det|$ は分母の上界であって、分母ではない。反例：$\mathrm{diag}(2,2)$ は $|\det|=4$ をもつが、逆行列の成分は半整数だけで、$\tfrac14$ は一つも現れない。実際に現れる分母は最大不変因子 $d_n$ であり、$d_n=|\det|$ となるのは余核が巡回のときに限る（第5節）。

第五に、体系の二つの実例は、どちらも巡回であった。論文03 の行列は不変因子 $(1,4)$、論文39 の行列は $(1,1,2)$ である（本稿で再計算）。したがって結論はどちらも正しい。正しくなかったのは理由のほうであり、一つ粗い不変量で語っていた（第6節）。

Abstract

This paper applies a brake to the corpus itself. Paper 39 wrote that the exponents of the Planck system are half-integers because the dimension-exponent matrix of $(\hbar,G,c)$ has $|\det|=2$; Paper 03 wrote that the Kolmogorov scales come in quarters because that of $(\nu,\varepsilon)$ has $|\det|=4$; and both called this one and the same theorem. That theorem is a theorem of upper bounds, not of equalities.

First, transporting a quantity along a map is not one operation. A differential form pulls back along any smooth map, while a vector field cannot be transported at all、under $f(x)=x^2$ the point $y=1$ receives two answers, $+2$ and $-2$ (Section 2).

Second, what separates a form from a density is orientation. Under a reflection the form changes sign and the measure does not: the first carries $\det$ and the second $|\det|$ (Section 3).

Third, the address of the corpus’s $|\det|$ is a volume in exponent space. A dimension-exponent matrix is a map of lattices and $|\det|$ is its index, the volume of a fundamental domain (confirmed here by counting lattice points). The absolute value is there because a volume has no orientation、the same root as the $|\det|$ of Section 3 (Section 4).

Fourth, and this is the core. $|\det|$ is an upper bound on the denominator, not the denominator. Counterexample: $\mathrm{diag}(2,2)$ has $|\det|=4$, yet its inverse has only halves and no quarter appears anywhere. The denominator that actually occurs is the largest invariant factor $d_n$, and $d_n=|\det|$ exactly when the cokernel is cyclic (Section 5).

Fifth, both of the corpus’s instances turned out to be cyclic. Paper 03’s matrix has invariant factors $(1,4)$ and Paper 39’s has $(1,1,2)$ (recomputed here). So both conclusions stand. What was not right was the reason, which was stated with one invariant too coarse (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/149/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/149 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

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