Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文237 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/237 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22129135）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文237】「無限小」は五つあり、二乗すると三つの違う答が出る

@misc{yamagishi2026yoi237,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“Infinitesimal” Is Five Things, and Squaring Them Gives Three Different Answers},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/237},
  doi = {10.5281/zenodo.22129135},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「無限小」と呼ばれるものが少なくとも五つある。見分ける一番鋭い方法は二乗することである。二乗が自分より小さい非零になるもの、ちょうど零になるもの、一次の量になるもの。そして五つのうち二つは、そもそも小さくない。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、$dx$ は小さくない。$f(x)=x^3$、$a=2$ で増分と微分の差は $h$ で割ると $6.00\times10^{-1}\to6.00\times10^{-5}$ と消えるが、微分の係数 $3a^2=12$ は動かない（第2節）。

第二に、本物の無限小がある。有理関数の順序体で $\varepsilon=1/t$ はどの $1/n$ より小さい正の元であり、$\varepsilon^2$ は零ではなく、二次の無限小である（第3節）。

第三に、これが本稿の芯の半分である。二重数の $\varepsilon$ は $\varepsilon^2$ がちょうど零である。そのおかげで $f(a+\varepsilon)$ が導関数を誤差 $0$で返す。差分商は $h=10^{-8}$ で $7.29\times10^{-8}$ まで下がったあと$9.93\times10^{-7}$ へ戻ってしまう（第4節）。

第四に、変分の $\delta$ も小さくない。方向 $v$ に対する線形汎関数であり、$L=4$ では第二変分が $v=\sin(\pi x/L)$ で $-0.766299449864$、$\sin(2\pi x/L)$ で $+2.934802200545$ である（第5節）。

第五に、二乗が一次の量になる無限小がある。ブラウン運動では $\sum(\Delta W)^2$ が $0.932\to0.978\to0.9996\to1.0013\to1.0008$ と$T=1$ へ行き、$\sum(\Delta t)^2$ は $10^{-2}$ から $10^{-6}$ へ消える（第6節）。

Abstract

At least five things are called infinitesimal. The sharpest way to tell them apart is to square them、the square comes out smaller and nonzero, exactly zero, or a first-order quantity. And two of the five are not small at all. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM AND NO NEW LAW IS CLAIMED.

First, $dx$ is not small. For $f(x)=x^3$ at $a=2$ the gap between increment and differential, divided by $h$, falls from $6.00\times10^{-1}$ to $6.00\times10^{-5}$, while the coefficient $3a^2=12$ never moves (Section 2).

Second, a genuine infinitesimal exists. In the ordered field of rational functions $\varepsilon=1/t$ is a positive element below every $1/n$, and its square is not zero but a second-order infinitesimal (Section 3).

Third, and this is half the core. In the dual numbers $\varepsilon^2$ is exactly zero、so $f(a+\varepsilon)$ returns the derivative with error $0$, while the difference quotient bottoms out at $7.29\times10^{-8}$ for $h=10^{-8}$ and then climbs back to $9.93\times10^{-7}$ (Section 4).

Fourth, the variational $\delta$ is not small either. It is a linear functional of the direction: at $L=4$ the second variation is $-0.766299449864$ along $\sin(\pi x/L)$ and $+2.934802200545$ along $\sin(2\pi x/L)$ (Section 5).

Fifth, one infinitesimal has a first-order square. For Brownian motion $\sum(\Delta W)^2$ runs $0.932\to0.978\to0.9996\to1.0013\to1.0008$, going to $T=1$, while $\sum(\Delta t)^2$ falls from $10^{-2}$ to $10^{-6}$ (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/237/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/237 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ