論文330 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/330 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22681423）。
本文はサイトの記事でも読めます：【論文330】条件数が二乗になるのは、近似ではなく恒等式である
日付の証拠（OpenTimestamps）：日本語版の .ots・英語版の .ots・SHA256SUMS
予備の置き場所（ミラー。中身は上と同じです）：PDF 日本語・PDF English・SHA256SUMS
住所：https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/330・DOI 10.5281/zenodo.22681423・CC BY 4.0・プレプリント（査読を経ていません）・ORCID 0009-0006-8587-3450
引用するとき
山岸勇輝 (2026). 条件数が二乗になるのは、近似ではなく恒等式である [論文330]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/330 ・ DOI: 10.5281/zenodo.22681423
Yamagishi, Y. (2026). That the Condition Number Squares Is an Identity, Not an Approximation [Paper 330]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/330; DOI: 10.5281/zenodo.22681423
@misc{yamagishi2026yoi330,
author = {Yamagishi, Yuuki},
title = {That the Condition Number Squares Is an Identity, Not an Approximation},
year = {2026},
howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/330},
doi = {10.5281/zenodo.22681423},
note = {Preprint, edition 1}
}
指紋（SHA-256）と確かめ方
d70363fedd21e12a5035173befd0787b07cc7c51069307da807cc9fb2aaea5d6 yamagishi_yoi330_v1_jp.pdffb49693ec9b72c7c29095235d1deda2c4298cb6915b30b9072c1b41c916ae5d0 yamagishi_yoi330_v1_en.pdfPDF と .ots を同じ場所に保存し、opentimestamps.org に .ots、続けて PDF を落とすと、記録された日時が表示されます。PDF が 1 バイトでも変わっていれば通りません。
日付の証拠（OpenTimestamps）
2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969397・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 14:20（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。
書誌
| 題名 | 条件数が二乗になるのは、近似ではなく恒等式である |
|---|---|
| Title | That the Condition Number Squares Is an Identity, Not an Approximation |
| 著者 | 山岸 勇輝 (Yuuki YAMAGISHI)・ORCID 0009-0006-8587-3450 |
| 所属 | 山岸複雑性トーラス研究所 (Yamagishi Complexity Torus Lab, Japan) |
| 版 | 第1版（2026年9月） |
| 言語 | 日本語・英語 |
| 種別 | プレプリント（査読を経ていません） |
| ライセンス | CC BY 4.0（出典を示せば、複製・再配布・改変ができます） |
| YOI | https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/330 |
| DOI（Zenodo） | 10.5281/zenodo.22681423 |
要旨
最小二乗法を解くとき、$A^\top A x=A^\top b$ という形に直してから解くことがある。本稿が問うのは、その書き換えで何が失われるのかである。答は、有効桁のちょうど半分であり、それは近似ではなく恒等式として失われるである。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。
第一に、$\kappa_2(A^\top A)/\kappa_2(A)^2$ は、試したすべての行列で $\mathbf{1.0000000000}$ である（第2節）。
第二に、これが本稿の芯である。これは「たいてい二乗になる」ではなく、特異値の定義からの恒等式である（第3節）。
第三に、正方でも対称でもない行列でも成り立つ。$30\times11$ のヴァンデルモンドで比は $1.0000000000$（第2節）。
第四に、倍精度の有効桁は $15.9546$ 桁しかない。$n=8$ のヒルベルト行列では $\kappa(A^\top A)$ が $10^{20.3670}$ で、残る桁は $-4.4124$（第4節）。
第五に、悪化しない行列も存在する。直交行列では $\kappa=1$ のままである（第4節）。
第六に、分離子は「$A^\top A$ を作ったか、作らなかったか」である（第5節）。
Abstract
A least-squares problem is often rewritten as $A^\top A x=A^\top b$ before being solved.This paper asks what that rewriting costs、the answer is exactly half the significant digits, and they are lost as an identity rather than as an approximation.No new mathematical theorem and no new law is claimed.
First, $\kappa_2(A^\top A)/\kappa_2(A)^2$ is $\mathbf{1.0000000000}$ for every matrix tried (Section 2).
Second, this is the core of the paper.This is not “usually squares”; it follows from the definition of singular values (Section 3).
Third, it holds for matrices that are neither square nor symmetric.A $30\times11$ Vandermonde gives $1.0000000000$ (Section 2).
Fourth, double precision carries only $15.9546$ digits.For the $8\times8$ Hilbert matrix $\kappa(A^\top A)=10^{20.3670}$ and the digits remaining are $-4.4124$ (Section 4).
Fifth, there are matrices that do not degrade.An orthogonal matrix keeps $\kappa=1$ (Section 4).
Sixth, the separator is whether $A^\top A$ was formed or not (Section 5).
版の記録
ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/330/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/330 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。