Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文928 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/928 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月11日 13:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi928,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {At t=1, -1, i and a Cube Root of Unity, the Jones Polynomial Gives Left and Right Trefoils the Same Value},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/928},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

ジョーンズ多項式は、三つ葉結び目とその鏡像（右と左）を見分ける結び目の不変量として知られる。本稿は、四つの結び目と一つの絡み目のジョーンズ多項式を図の交点の記述から計算し、変数を $1$ の低い次数の冪根に置いた値を、独立に計算した行列式と突き合わせ、鏡像との違いがどこで消えるかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、$t=1$ と $1$ の三乗根では、どの結び目も $1$ になる。三つ葉結び目・$8$ の字結び目・$5_1$・$5_2$ の四つで $V(1)=1$（差 $0$）、$V(\omega)=1$（差 $1.6\times10^{-15}$）だった。二成分のホップ絡み目では $V(1)=-2$ である（第2節）。

第二に、$t=-1$ では行列式に戻る。$|V(-1)|$ は $3$・$5$・$5$・$7$ で、交点ごとの彩色の関係から独立に計算した行列式と四つとも一致した（第2節）。

第三に、$t=i$ では Arf 不変量の符号に戻る。$V(i)$ は $-1$・$-1$・$-1$・$+1$ で、行列式を $8$ で割った余り（$3$・$5$・$5$・$7$）から決まる符号と四つとも一致した（第3節）。

第四に、その四つの点では右と左の三つ葉結び目は同じ値で、一般の $t$ では違う。交点の上下を入れ替えた図から独立に計算した鏡像の多項式は四つとも $V(1/t)$ と一致した。三つ葉結び目と鏡像の差は $t=1$・$\omega$・$-1$・$i$ で $0$、$t=2$ で $\mathbf{6.562500}$、単位円上の角 $36$ 度の点で $\mathbf{1.902113}$ だった（第4節）。

第五に、分離子は、$t$ を $1$ の一次から四次の冪根に置くか、一般の値に置くかである。その四つの点では多項式は古典的な量に戻り、鏡像と同じ値を返す。右と左を見分ける力は、一般の $t$ の値にだけ現れる（第5節）。

キーワード：ジョーンズ多項式、カウフマンの括弧、三つ葉結び目、鏡像、結び目の行列式、Arf不変量

Abstract

The Jones polynomial is known as a knot invariant that tells the trefoil from its mirror image, left from right.This paper computes the Jones polynomials of four knots and one link from descriptions of the crossings of their diagrams, checks their values at roots of unity of low order against independently computed determinants, and counts where the difference from the mirror image disappears.No new theorem or law is claimed.

First, at $t=1$ and at a cube root of unity every knot gives $1$: for the trefoil, the figure-eight knot, $5_1$ and $5_2$, $V(1)=1$ (difference $0$) and $V(\omega)=1$ (difference $1.6\times10^{-15}$). The two-component Hopf link has $V(1)=-2$ (Section 2).

Second, at $t=-1$ the polynomial returns to the determinant: $|V(-1)|$ was $3$, $5$, $5$ and $7$, agreeing for all four with the determinant computed independently from the colouring relations at the crossings (Section 2).

Third, at $t=i$ the polynomial returns to the sign of the Arf invariant: $V(i)$ was $-1$, $-1$, $-1$ and $+1$, agreeing for all four with the sign set by the determinant modulo $8$ ($3$, $5$, $5$, $7$) (Section 3).

Fourth, at those four points left and right trefoils share a value, and at general $t$ they do not: the mirror polynomial, computed independently from the diagram with every crossing switched, agreed with $V(1/t)$ for all four knots. The difference between the trefoil and its mirror was $0$ at $t=1$, $\omega$, $-1$ and $i$, $\mathbf{6.562500}$ at $t=2$ and $\mathbf{1.902113}$ at the point at angle $36$ degrees on the unit circle (Section 4).

Fifth, the separator is whether $t$ is placed at a root of unity of order one to four or at a general value: at those four points the polynomial returns to classical quantities and gives the same value as the mirror image. The power to tell left from right appears only at general values of $t$ (Section 5).

Keywords: Jones polynomial, Kauffman bracket, trefoil knot, mirror image, knot determinant, Arf invariant

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/928/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/928 はいつも最新の版を指します）。

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