Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文938 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/938 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月12日 13:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi938,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Stratifying a Forest Removes Between-Stratum Differences from Sampling Error, and Allocating More Plots to Variable Strata Reduces It Further},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/938},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

林の平均の材積を、限られた数の区画を測って見積もるとき、区画の選び方で推定の誤差が変わる。本稿は、若い・中ほど・古い三つの層を持つ林で、三十か所の標本を無作為に取る場合、面積の割合で層に配る場合、層のばらつきに合わせて配る場合の推定の分散を式で出し、合成の林から乱数で標本を取って確かめる。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、林全体の分散の大半は、層の間の違いである。面積の割合 $0.5$・$0.3$・$0.2$、層の平均 $50$・$150$・$300$ m³/ha の林では、層の中の分散 $2680.000$ に対して層の間の分散は $9100.000$ だった（第2節）。

第二に、面積の割合で層に配ると、層の間の違いが誤差から消える。三十か所を無作為に取ると平均の推定の分散は $392.666667$、面積の割合で $15$・$9$・$6$ か所に配ると $89.333333$ で、比は $\mathbf{0.227504}$ だった（第3節）。

第三に、層のばらつきに合わせて配ると、さらに減る。層の面積とばらつきの積に比例して $7.143$・$8.571$・$14.286$ か所に配ると、分散は $58.800000$ で、無作為に対する比は $\mathbf{0.149745}$ だった（第3節）。

第四に、無作為で同じ精度を得るには、区画の数が何倍も要る。面積の割合の配り方と同じ精度には $131.866$ か所、ばらつきに合わせた配り方と同じ精度には $\mathbf{200.340}$ か所が要る。合成の林から $20000$ 回取ると、三つの分散は式と比 $0.95$ から $1.05$ のあいだで合った（第4節）。

第五に、分離子は、標本を面積の割合で配るか、層のばらつきに合わせて配るかである。面積の割合で配れば、どの層がどれだけ入るかの運が消える。ばらつきに合わせて配れば、見積もりにくい層に区画を寄せて、同じ数の区画で誤差をさらに削る（第5節）。

キーワード：層別抽出、比例配分、ネイマン配分、推定の分散、標本調査、森林調査

Abstract

When the mean timber volume of a forest is estimated by measuring a limited number of plots, the way plots are chosen changes the estimation error.This paper takes a forest with three strata, young, middle and old, derives the variance of the estimate for thirty plots taken at random, allocated by area share, and allocated by stratum variability, and confirms the formulas by random sampling from a synthetic forest.No new theorem or law is claimed.

First, most of the forest’s variance is difference between strata: with area shares $0.5$, $0.3$ and $0.2$ and stratum means of $50$, $150$ and $300$ cubic metres per hectare, the within-stratum variance was $2680.000$ against a between-stratum variance of $9100.000$ (Section 2).

Second, allocating by area share removes between-stratum differences from the error: taking thirty plots at random gives a variance of the estimated mean of $392.666667$; allocating $15$, $9$ and $6$ plots by area share gives $89.333333$, a ratio of $\mathbf{0.227504}$ (Section 3).

Third, allocating by variability reduces it further: allocating $7.143$, $8.571$ and $14.286$ plots in proportion to area times variability gives a variance of $58.800000$, a ratio of $\mathbf{0.149745}$ to random (Section 3).

Fourth, random sampling needs many times more plots for the same precision: matching the area-share allocation takes $131.866$ plots, and matching the variability allocation $\mathbf{200.340}$. Taking $20000$ samples from a synthetic forest, the three variances matched the formulas within ratios of $0.95$ to $1.05$ (Section 4).

Fifth, the separator is whether plots are allocated by area share or by the variability of each stratum: allocating by area share removes the luck of how many plots fall in each stratum. Allocating by variability moves plots toward the strata that are hard to estimate, cutting error further with the same number of plots (Section 5).

Keywords: stratified sampling, proportional allocation, Neyman allocation, variance of the estimate, survey sampling, forest inventory

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/938/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/938 はいつも最新の版を指します）。

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