Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文964 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/964 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。

本文はサイトの記事でも読めます（2026年10月15日 7:50 に公開します）。

@misc{yamagishi2026yoi964,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Doubling the Pages, Which Pages Share a Side Is Still Set by Remainder Mod 4, and a Neighbor Sum Names the Fold That Joins Them},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/964},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969451・969456・969461・969490 に記録されました（2026年10月01日 23:00（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

一枚の紙を何度も半分に折って本の一まとまり（折丁）にすると、紙の上のページの並びは折る順で変わるが、16 ページでは同じ面に来るページの組と最後の折り目をまたぐ和 17 は変わらなかった（論文877）。本稿は、877 と同じ折り方の模型を 32 ページと 64 ページに広げ、紙の形と折る順をすべて試して、同じ面に来るページと、隣どうしの和が何を決めているかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、折る順は形ごとに違い、紙の上の並びもすべて違う。4×2（16 ページ）・8×2 と 4×4（32 ページ）・16×2 と 8×4（64 ページ）で、折る順は $3$・$4$・$6$・$5$・$10$ 通り（計 $28$ 通り）あり、並びはどの二つも違った（第2節）。

第二に、同じ面に来るページは 4 で割った余りで決まる。五つの形とすべての折る順で、表の面に来るのは 4 で割った余りが 2 か 3 のページのちょうど半分、裏の面は余りが 0 か 1 のページだった（第2節）。

第三に、重なる折りは隣の和が言い当てる。隣どうしのページの和から 1 を引いた数を割り切る 2 の冪の指数から 1 を引くと、その二つが何番目の折りで重なったかになった。照らした $2024$ 組で食い違いは $0$ だった（第3節）。

第四に、最後の折りで重なる和はページ数に 1 を足した数だけである。16・32・64 ページで、最後の折りで重なる隣の和は 17・33・65 だけで、ほかの和は現れなかった（第3節）。

第五に、分離子は、ページを紙の上の位置で見るか、番号の余りと 2 の冪で見るかである。紙の上の位置は折る順で 28 通りに変わる。番号の 4 で割った余りは面を、和から 1 を引いた数の 2 の冪は重なる折りを、折る順にも紙の形にもよらずに決めた（第4節）。

キーワード：折丁、面付け、製本、ページの並び、2 の冪、余り

Abstract

When one sheet is folded in half repeatedly into a section of a book (a signature), the order of pages on the sheet changes with the folding order, but at 16 pages which pages share a side and the sum 17 across the last fold did not change (Paper 877).This paper extends the folding model of Paper 877 to 32 and 64 pages, tries every sheet shape and folding order, and counts what decides which pages share a side and what neighbor sums decide.No new theorem or law is claimed.

First, the folding orders differ by shape, and every order gives a different layout: for 4×2 (16 pages), 8×2 and 4×4 (32 pages), and 16×2 and 8×4 (64 pages) there were $3$, $4$, $6$, $5$ and $10$ folding orders ($28$ in all), and no two layouts were the same (Section 2).

Second, which pages share a side is set by remainder mod 4: for all five shapes and every folding order, the front side carried exactly the half of the pages with remainder 2 or 3 on division by 4, and the back side the pages with remainder 0 or 1 (Section 2).

Third, a neighbor sum names the fold that joins the pair: taking the exponent of the power of 2 dividing a neighbor sum minus 1, and subtracting 1, gave the fold at which the two were joined. Across $2024$ pairs checked there were $0$ mismatches (Section 3).

Fourth, the sum across the last fold is only the page count plus 1: at 16, 32 and 64 pages, the neighbor sums joined by the last fold were only 17, 33 and 65, and no other sum appeared (Section 3).

Fifth, the separator is whether pages are seen by their position on the sheet or by their remainder and a power of 2: position on the sheet changes across the 28 orders. The remainder mod 4 of the page number decided the side, and the power of 2 in a neighbor sum minus 1 decided the joining fold, regardless of folding order or sheet shape (Section 4).

Keywords: signature, imposition, bookbinding, page order, power of two, remainder

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年9月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/964/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/964 はいつも最新の版を指します）。

YOI の一覧へ