Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

一枚の紙を何度も半分に折って本の一まとまり（折丁）にすると、紙の上のページの並びは折る順で変わるが、16 ページでは同じ面に来るページの組と最後の折り目をまたぐ和 17 は変わらなかった（論文877）。本稿は、877 と同じ折り方の模型を 32 ページと 64 ページに広げ、紙の形と折る順をすべて試して、同じ面に来るページと、隣どうしの和が何を決めているかを数える。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、折る順は形ごとに違い、紙の上の並びもすべて違う。4×2（16 ページ）・8×2 と 4×4（32 ページ）・16×2 と 8×4（64 ページ）で、折る順は $3$・$4$・$6$・$5$・$10$ 通り（計 $28$ 通り）あり、並びはどの二つも違った（第2節）。

第二に、同じ面に来るページは 4 で割った余りで決まる。五つの形とすべての折る順で、表の面に来るのは 4 で割った余りが 2 か 3 のページのちょうど半分、裏の面は余りが 0 か 1 のページだった（第2節）。

第三に、重なる折りは隣の和が言い当てる。隣どうしのページの和から 1 を引いた数を割り切る 2 の冪の指数から 1 を引くと、その二つが何番目の折りで重なったかになった。照らした $2024$ 組で食い違いは $0$ だった（第3節）。

第四に、最後の折りで重なる和はページ数に 1 を足した数だけである。16・32・64 ページで、最後の折りで重なる隣の和は 17・33・65 だけで、ほかの和は現れなかった（第3節）。

第五に、分離子は、ページを紙の上の位置で見るか、番号の余りと 2 の冪で見るかである。紙の上の位置は折る順で 28 通りに変わる。番号の 4 で割った余りは面を、和から 1 を引いた数の 2 の冪は重なる折りを、折る順にも紙の形にもよらずに決めた（第4節）。

キーワード：折丁、面付け、製本、ページの並び、2 の冪、余り。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。一枚の紙を折って折丁にすること、面付けの並びが折り方で変わること、背中合わせのページや折り目をまたぐページの和に決まりがあることは、いずれも印刷と製本で知られている。877 と同じ約束で折る。右（下）の半分を左（上）の半分の上に返して重ね、折った束の上から順にページを振る。ほかの重ね方、切り込みを入れる折り方は入れない。製本の実際を扱わない。裁ち落とし、くわえ代、紙の厚みによるずれ、実在の印刷機の版の置き方は扱わない。64 ページまでで止める。確かめたのは五つの紙の形と 28 通りの折る順で、それより大きい折丁は数えていない。既刊との関係：論文877 の射程注記は、大きさを広げず、4×2 のますを三回折る 16 ページの折丁だけを数え、32 ページ以上や、裁ち落とし・くわえ代は扱わないと書いた。本稿はそのうち 32 ページ以上の席に座る（先客なし）。論文877 は、16 ページの三通りの折り方で、紙の上の並びは変わるが、同じ面に来るページの組と最後の折り目をまたぐ和 17 は変わらないことを示した。ここでは、32 ページと 64 ページでも同じことが成り立つかを数え、面を決める余りと、重なる折りを決める 2 の冪を出す。加えたのは、五つの紙の形で折る順をすべて試したこと、同じ面のページが 4 で割った余りで決まることを確かめたこと、隣の和の 2 の冪が重なる折りを言い当てることを 2024 組で確かめたこと、最後の折りの和がページ数に 1 を足した数だけだと確かめたこと、分離子を「位置か、余りと 2 の冪か」に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：表（A 面）と裏（B 面）に $W\times H$ のますがある紙を、論文877 と同じく、縦か横に半分ずつ折る（右か下の半分を返して上に重ねる）。折り終えた束の上から順に、ますの上の面に $1,3,5,\dots$、下の面に $2,4,6,\dots$ を振る。ページ数は $N=2WH$、折る回数は $\log_2(WH)$ である。

紙の上で隣り合う二つのますが、何番目の折りで初めて同じ位置に重なるかを $k$ とし、同じ面での二つのページの和を $s$ とする。和から 1 を引いた数 $s-1$ を割り切る 2 の冪の指数を $\nu_2(s-1)$ と書く。

問い：ページを 32、64 に増やしたとき、同じ面に来るページと、隣どうしの和は、折る順と紙の形によらずに何を決めているか。

2. 同じ面に来るページ

計算 2.1：紙の形ごとの折る順と、表の面のページ。

どの形・どの順でも 1 から $N$ が一度ずつ出て、背中合わせのページは奇数とその次だった。4×2 の表の面は 877 と同じ $\{2,3,6,7,10,11,14,15\}$、32 ページの表の面は $\{2,3,6,7,10,11,14,15,18,19,22,23,26,27,30,31\}$ で、8×2 と 4×4 の 10 通りすべてで同じだった。裏の面の余りは $0$・$1$ だった。

観察 2.2　同じ面に来るページは、4 で割った余りで決まる。五つの形と 28 通りの順のすべてで、表の面は余りが 2 か 3 のページのちょうど半分だった。紙の上でどこに刷られるかは順ごとに違っても、どちらの面に刷られるかは番号だけで分かる。

3. 重なる折りと隣の和

計算 3.1：折る順ごとに、$k$ 番目の折りで重なる隣どうしの和（抜粋）。

$k=1$ の和はどれも $4\times$奇数$+1$（5・13・21・29・37・45）、$k=2$ は $8\times$奇数$+1$（9・25・41・57・89・105）、$k=3$ は $16\times$奇数$+1$（17・49）、$k=4$ は $32\times$奇数$+1$（33・97）、$k=5$ は $65$ だった。五つの形と 28 通りの順で、隣どうしの和と同じ面の組を合わせて $2024$ 組を照らし、$\nu_2(s-1)-1=k$ の食い違いは $0$ だった。最後の折りで重なる和は、16・32・64 ページで 17・33・65 だけだった。

観察 3.2　隣の和は、何番目の折りで重なったかを言い当てる。和から 1 を引いた数が 4 で割り切れて 8 で割り切れなければ最初の折り、8 で割り切れて 16 で割り切れなければ二番目の折りで重なっていた。最後の折りでは、和から 1 を引いた数がページ数で割り切れ、ページ数の二倍より小さいので、和は $N+1$ だけになる。

4. 分離子

観察 4.1　分離子は、ページを紙の上の位置で見るか、番号の余りと 2 の冪で見るかである。紙の上の位置は、五つの形の 28 通りの順ですべて違った。番号を 4 で割った余りは面を、隣の和から 1 を引いた数の 2 の冪は重なる折りを、折る順にも紙の形にもよらずに決めた。

観察 4.2　言わないこと。裁ち落とし、くわえ代、紙の厚み、ほかの重ね方、64 ページより大きい折丁、実在の印刷機の版の置き方は扱わない。示したのは、877 と同じ約束で折る模型で、五つの形と 28 通りの順について、面と重なる折りが番号から決まることである。

5. 点呼と結び

1. 折り方の模型と $\nu_2(s-1)$（第1節）：877 と同じ約束。
2. 折る順 $\mathbf{28}$ 通り・並びはすべて違う（計算 2.1）：五つの紙の形。
3. 表の面は 4 で割った余り 2・3（計算 2.1）：形にも順にもよらない。
4. $\mathbf{2024}$ 組で食い違い 0（計算 3.1）：隣の和が重なる折りを言い当てる。
5. 最後の折りの和 17・33・65（計算 3.1）：ページ数に 1 を足した数だけ。
6. 位置か、余りと 2 の冪か（観察 4.1）：分離子・論文877 の射程注記。

結び：ページを倍にしても、同じ面に来るページは 4 で割った余りで決まり、重なる折りは隣の和が言い当てる。877 と同じ約束で 16・32・64 ページの五つの紙の形を 28 通りの順で折ると、紙の上の並びはすべて違ったが、表の面は 4 で割った余りが 2 か 3 のページだった。隣どうしの和から 1 を引いた数を割り切る 2 の冪の指数から 1 を引くと重なる折りの番号になり、2024 組で食い違いは 0、最後の折りの和は 17・33・65 だけだった。分離子は、ページを紙の上の位置で見るか、番号の余りと 2 の冪で見るかである。既刊との位置：論文877 が 16 ページで見つけた変わらないものを、論文877 が扱わなかった 32 ページと 64 ページで数えた。正直に言えば、紙の厚みも裁ち落としも入れていない。一つの約束の折り方で、番号が面と折りをどこまで決めるか、そこまでである。

参考文献

1. Kipphan, H. (Ed.). (2001). Handbook of Print Media: Technologies and Production Methods. Springer.
2. 山岸勇輝 (2026). 『折り方でページの並びは変わるが、同じ面に来るページと最後の折り目の和 17 は変わらない』[論文877]. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/877

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「ページを倍にしても、同じ面に来るページは 4 で割った余りで決まり、重なる折りは隣の和が言い当てる」［論文964］. YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/964

@misc{yamagishi2026yoi964,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {Doubling the Pages, Which Pages Share a Side Is Still Set by Remainder Mod 4, and a Neighbor Sum Names the Fold That Joins Them},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/964},
  note = {Preprint, edition 1}
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