Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

級数の項を足していけば答に近づく。これは、ある種類の級数についてだけ正しい。本稿は、どの $x$ でも発散するのに二十一桁を出す級数を測り、「収束する」と「近似する」が別の極限についての主張であることを数で書く。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、収束する級数は素直である。$e$ の級数の誤差は $0.218282$ から $2.05\times10^{-20}$ まで、一度も向きを変えずに落ちる（第2節）。

第二に、$E(x)=\int_0^\infty e^{-t}/(1+xt)\,dt$ の展開は、どの $x$ でも発散する。$x=0.1$ では誤差が $10$ 項めで $1.770\times10^{-4}$ まで落ちたあと、$30$ 項で $65.9$、$40$ 項で $1.63\times10^{7}$ へ登っていく（第3節）。

第三に、止める場所には規則がある。最良の項数は $x=0.2,\,0.1,\,0.05,\,0.02,\,0.01$ に対して $5,\,10,\,20,\,50,\,100$ で、ちょうど $1/x$であり、そこでの誤差は $e^{-1/x}$ とほぼ等しい（第4節）。

第四に、スターリングの級数でも同じ形が出る。最良の項数は $z=2,\,5,\,10,\,20$ に対して $7,\,16,\,32,\,63$ で、$\pi z$ に一致する。$z=20$ での誤差は $9.43\times10^{-57}$ である（第6節）。

第五に、これが本稿の芯である。$x$ を止めて項数を増やせば発散し、項数を止めて $x$ を小さくすれば誤差 $/\,x^2$ は零へ行き、誤差 $/\,x^3$ は $6.0$ に落ち着く。$6=3!$、すなわち次の係数そのものである（第7節）。

射程（何を示さないか）

新しい数学定理も新しい法則も主張しない。ポアンカレによる漸近展開の定義、スターリング級数の発散、最適な打ち切りは、いずれも標準的である。ボレル和も超漸近も扱わない。$e^{-1/x}$ の壁を越える手立てには触れない。ストークス現象を扱わない。摂動論の発散を論じない。本稿の級数は各項が有限である。論文35・39 との関係：あちらで「高次になるほど発散が悪化する」と書いたのは各項（ループ積分）が発散する話であり、本稿は各項は有限なのに級数が発散する話である。「発散する」も別根である。論文197 との関係：197 は「収束する」が四つの別の主張であることを扱った。本稿が分けるのはその四つの内側ではなく、収束と漸近という、そもそも別の極限である。加えたのは最良の項数が $1/x$ であることを五つの $x$ で測ったこと、そこでの誤差が $e^{-1/x}$ とほぼ等しいことを見たこと、その誤差が $x$ のどんな冪よりも小さくなることを比で示したこと、スターリング級数で最良の項数が $\pi z$ に一致することを四つの $z$ で確かめたこと、二つの極限を同じ級数の上で別々に走らせ、片方が発散し片方が $3!$ に落ち着くのを見たことである。

1. 記法と位置づけ

級数 $\sum_n a_n x^n$ が関数 $f$ に収束するとは、$x$ を止めて項数 $N\to\infty$ としたとき部分和が $f(x)$ に近づくことをいう。漸近展開であるとは、項数 $N$ を止めて $x\to0$ としたとき

$$ f(x)-\sum_{n=0}^{N-1} a_n x^n = O(x^N) $$

となることをいう（ポアンカレ 1886）。動かす変数が違う。

位置づけ：論文197 では「収束する」が四つの別の主張であった。ここではその外側で、「収束する」と「近似する」が別の極限であることを見る。論文168 では、ルベーグが買ったのは極限で閉じることであった。ここでも問題はどの極限かである。

2. 収束する級数は、素直である

検算 2.1：$e=\sum 1/n!$ の部分和。

どの項も役に立ち、誤差は一度も向きを変えない。これが「級数を足す」という言葉に普通ついている像である。

3. どの $x$ でも発散する級数

$E(x)=\int_0^\infty \dfrac{e^{-t}}{1+xt}\,dt$ を考える。$1/(1+xt)$ を展開して項別に積分すると $\sum_n (-1)^n n!\,x^n$ を得るが、項 $n!\,x^n$ はどの $x\neq0$ でも限りなく大きくなる。

検算 3.1：$x=0.1$、真の値は $0.9156333393978808187606982$（求積による）。

観察 3.2　誤差は落ち、床に当たり、そこから限りなく登っていく。$40$ 項も足すと、答は真の値と一桁も合っていない。$3$ 項で止めておけば四桁合っていたのに。

4. 止める場所には、規則がある

検算 4.1：

観察 4.2　最良の項数は $5,10,20,50,100$、すなわちちょうど $1/x$ である。そしてそこでの誤差は $e^{-1/x}$ の数倍に収まっている。項の大きさ $n!\,x^n$ が最小になる場所が、そのまま止めるべき場所であった。

観察 4.3　ここには「もっと精度が欲しい」という願いの入る余地が無い。$x$ を決めた瞬間に、到達できる精度が決まってしまう。足す手を増やしても、越えられない。

5. その誤差は、$x$ のどんな冪よりも小さい

検算 5.1：

観察 5.2　比は零へ行く。$5$ を他のどんな数に替えても同じことが起きる。$e^{-1/x}$ は $x$ のすべての冪より速く小さくなるからである。ゆえにこの誤差は、級数のどの次数にも現れない。「もっと高い次まで計算する」という方法では、原理的に見えない量である。

6. スターリングの級数でも、同じ形が出る

$\log\Gamma(z)\sim(z-\tfrac12)\log z-z+\tfrac12\log(2\pi)+\sum_{n\ge1}\dfrac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}$ もまた発散する。

検算 6.1：

観察 6.2　最良の項数は $\pi z$ に一致し、そこでの誤差は $e^{-2\pi z}$ の程度である。第4節とは何の関係も無い級数なのに、同じ形が出た。どちらも「項の大きさが最小になるところで止める」という一つの規則に従っている。

7. 芯：一つの言葉が、二つの別の極限を指している

同じ級数の上で、二つの極限を別々に走らせる。

検算 7.1（$x$ を止めて項数を増やす）：$x=0.1$ で、$10,20,30,40$ 項の誤差は

$$ 1.77\times10^{-4},\quad 8.02\times10^{-3},\quad 65.9,\quad 1.63\times10^{7}. $$

収束しない。

検算 7.2（項数を止めて $x$ を小さくする）：$3$ 項（$n=0,1,2$）で止める。

観察 7.3　真ん中の欄は零へ行き、右の欄は $6$ に落ち着く。$6=3!$ であり、これは足さなかった次の項の係数そのものである。つまりこの級数は漸近展開として完全に正しい。発散しているにもかかわらず。

観察 7.4　「収束する」と「近似する」は別の極限についての主張である。片方は $x$ を止めて $N$ を動かし、もう片方は $N$ を止めて $x$ を動かす。級数は両方であることも、片方だけであることも、どちらでもないこともある。そして役に立つかどうかを決めているのは後者のほうである。

8. 分離子と柵

検算 8.1：$50$ 項ずつ使って、どこまで行けるか。

（別の関数だから比較ではなく例示である。）

観察 8.2 （分離子）　「級数が使えるか」を決めているのは収束するかどうかではない。どの変数を動かす気があるかである。$x$ が小さいと決まっているなら、発散する級数のほうが速い。$x$ を動かすつもりなら、収束が要る。分けるにはどちらの極限を取るつもりかを言えばよい。

観察 8.3 （柵）　「項を足すほど良くなる」という言い方を囲っている柵は、級数が収束することである。柵の外では、この文は偽になる。良くなってから悪くなる。そして悪くなる速さは緩やかではない：$x=0.1$ で $40$ 項も足せば、答は $1.6\times10^7$ もずれる。

観察 8.4　論文209 では、近づいても届かないことを整数の剰余が保証した。ここでは逆に、届いてしまってから、また離れる。論文210 では、四つの量が一つの名を分け合っていた。ここでは、二つの極限が「近づく」という一つの言葉を分け合っている。

9. 点呼と結び

本稿が測ったことを並べる。

1. 収束する級数は素直（検算2.1）：誤差は一度も向きを変えない。
2. 発散する級数は登り返す（検算3.1）：$40$ 項で $1.63\times10^{7}$。
3. 最良の項数は $1/x$（検算4.1）：$5,10,20,50,100$。
4. 誤差は $x$ のどんな冪よりも小さい（検算5.1）：比は $6.03\times10^{-14}$ へ。
5. スターリングでは $\pi z$（検算6.1）：$7,16,32,63$。
6. 二つの極限は別（検算7.1・7.2）：発散するのに、比は $3!$ に落ち着く。
7. 収束は何も買わない（検算8.1）：$50$ 項で $10^{-21}$ 対 $10^{-2}$。

結び：$3$ 項で四桁合っていた答は、$40$ 項まで足すと一桁も合わなくなる。それでもこの級数は間違っていない。漸近展開としては、次の係数の $3!$ まで正確に当てている。間違っていたのは級数ではなく、「足すほど良くなる」という思い込みのほうである。そして止めるべき場所には規則があり、そこで届く精度は $e^{-1/x}$ で、それは $x$ のどんな冪よりも小さい。つまり級数のどの次数にも書かれていない。見えないものは、無いものではない：ただ、その言葉づかいの中に置き場所が無いだけである。

参考文献

1. Poincaré, H. (1886). Sur les intégrales irrégulières des équations linéaires. Acta Mathematica, 8.
2. Stieltjes, T. J. (1886). Recherches sur quelques séries semi-convergentes. Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure, 3.
3. Dingle, R. B. (1973). Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation. London: Academic Press.
4. Olver, F. W. J. (1974). Asymptotics and Special Functions. New York: Academic Press.
5. Bender, C. M., Orszag, S. A. (1978). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill.
6. Berry, M. V. (1989). Uniform asymptotic smoothing of Stokes’s discontinuities. Proceedings of the Royal Society A, 422.
7. Boyd, J. P. (1999). The devil’s invention: asymptotic, superasymptotic and hyperasymptotic series. Acta Applicandae Mathematicae, 56.
8. 山岸勇輝 (2026). 山岸万有引力定数解凍理論 [論文35]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21430118
9. 山岸勇輝 (2026). 山岸・プランク長幾何解凍理論 [論文39]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21430490
10. 山岸勇輝 (2026). 次元解析は、二通りに破れる [論文120]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22036433
11. 山岸勇輝 (2026). ルベーグが買ったのは、クラスの大きさではなく、極限で閉じることである [論文168]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22093320
12. 山岸勇輝 (2026). 「収束する」は四つの別の主張であり、分けているのは何を捨てることを許すかである [論文197]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22107590
13. 山岸勇輝 (2026). 体積が等しくても、切り貼りでは移れない [論文209]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22111317
14. 山岸勇輝 (2026). パルスの山は、入る前に出ることがある [論文210]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22111747

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「足し続けると、答から遠ざかる」［論文211］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22111772

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