Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

論文178 は「どの意味で微分と言っているかの問題である」と書いて、そこで止めた。本稿はその点呼である。「微分できる」は少なくとも六つの別の主張であり、二つは差分商の極限をまったく取らない。新しい数学定理も新しい法則も主張しない。

第一に、全方向にあって、全体には無い。$f(x,y)=x^3y/(x^6+y^2)$ はあらゆる方向で微分係数 $0$ を持ちながら、曲線 $y=x^3$ の上では原点にいくら近づいても値が $0.5$ のままである（第2節）。

第二に、どこにも無い。ワイエルシュトラス関数の差分商は $h$ を縮めるほど $19.77\to-172.32\to-947.98\to-7510.35\to+11503.54$ と符号ごと暴れる（第3節）。

第三に、ほとんど至る所にはある。カントール階段は乱数 $3000$ 点すべてで傾きが $10^{-6}$ 未満、それでいてちょうど $1$ だけ上がる（第4節）。

第四に、極限を取らない微分がある。$|x|$ の弱微分は $\mathrm{sgn}$ であり、試験関数との対で $0.177772705925436369$ が両辺一致した（差 $6.46\times10^{-27}$）（第5節）。

第五に、これが本稿の芯である。カントール階段の超関数微分は関数ではなく測度である。台の長さが $0.0077$ へ縮んでも積分は $0.2373579604737711$ に居座る（第6節）。

第六に、定数を消さない微分がある。$1/2$ 階のリーマン＝リウヴィル微分は定数 $1$ に対し $x=1$ で $0.564189583548$ を返す。カプトは $0$ を返し、差はちょうど初期値の分である（第7節）。

射程（何を示さないか）

新しい数学定理も新しい法則も主張しない。ワイエルシュトラス関数、カントール階段、ルベーグの微分定理、ラーデマッハの定理、ソボレフの弱微分、シュワルツの超関数、リーマン＝リウヴィルとカプトの分数階微分は、いずれも標準的である。どの定義が正しいかを決めない。六つは目的が違うのであって、優劣ではない。分数階微分の応用を論じない。粘弾性も異常拡散も扱わない。微分の歴史を書かない。誰がいつ何を定義したかは参考文献に置くだけである。数値微分の誤差論を作らない。第3節の暴れは丸め誤差ではなく関数の性質だが、その分離は本稿では示さない。既刊との関係：論文178 は階段関数の超関数微分を扱い、「どの意味で微分と言っているかの問題である」と名指しして止めた。本稿はその戸から入る。論文177 は「連続」の五別根を数え、カントール階段を絶対連続の反例として使った。本稿は同じ関数を微分の側から見るので、事実は重なるが問いが違う。論文197 は「収束する」の四別根を数えた。本稿はその微分版である。論文16 は等号に六つの別根を数えた。本稿の六つは演算子の側の別根である。加えたのは方向微分と全微分の乖離を数で見せたこと、弱微分を試験関数との対で検算したこと、カントール測度への収束を段ごとに追ったこと、そこで生じた $2.59\times10^{-4}$ のずれの出所を突き止めたこと、二つの分数階微分の差が初期値そのものだと確かめたことである。

1. 記法と位置づけ

論文178 は、階段関数に超関数微分を与えたあとでこう書いた。「どちらも、どの意味で微分と言っているかの問題である」。そこで文は終わっている。本稿はその問いの点呼である。

問うのはどの定義がどの対象に届くかであり、どれが本物の微分かではない。

位置づけ：論文177 は連続の別根を数えた。本稿は微分の別根を数える。両者はカントール階段という同じ証人を使うが、訊いていることが違う。あちらは「絶対連続か」、こちらは「導関数は何か」である。

2. 方向にはあるのに、全体には無い

検算 2.1：$f(x,y)=x^3y/(x^6+y^2)$、$f(0,0)=0$ とおく。原点で各方向の微分係数を測る。

どの方向でも $t\to0$ で $0$ に行く。つまりガトー微分はあらゆる方向に存在し、すべて $0$ である。（証明終）

検算 2.2：ところが直線ではなく曲線で近づく。

原点にいくら近づいても $0.5$ のままである。（証明終）

観察 2.3　$f$ は原点で連続ですらない。連続でないものが全微分できるはずはないから、フレシェ微分は存在しない。それでも方向微分は全部存在する。分離子はどの近づき方を許すかであり、直線だけを見る定義は、曲線の情報を落とす。

3. どこにも無い

検算 3.1：$W(x)=\sum_{k\ge0}2^{-k}\cos(13^k\pi x)$ の差分商を $x=0.3$ で測る。

観察 3.2　大きさが増えるだけでなく、符号が入れ替わる。$W$ は至る所連続で、至る所微分不可能である。ここでは六つのうち一つも適用できない、のではない。弱微分も超関数微分も存在する（$W$ は連続だから局所可積分である）。存在しないのは差分商の極限だけである。

4. ほとんど至る所にはある

検算 4.1：カントール階段 $c$ を自己相似の定義
$c(x)=c(3x)/2$（$x\le1/3$）、$c(x)=1/2$（$1/3 < x < 2/3$）、$c(x)=1/2+c(3x-2)/2$（$x\ge2/3$）
で作り、乱数 $3000$ 点で $h=10^{-15}$ の差分商を測る。

観察 4.2　単調関数はほとんど至る所で微分可能である（ルベーグ）、カントール階段はその極端な場合で、導関数はほとんど至る所 $0$。各点の導関数を積分すると $0$ になり、上昇 $1$ と合わない。論文177 はこれを絶対連続でないこととして述べた。

観察 4.3　本稿が足すのは、そこから先である。「導関数が無い」のではなく、別の意味の導関数なら在る。それが第6節である。

5. 極限を取らない微分

定義 5.1　$g$ が $f$ の弱微分であるとは、すべての試験関数 $\varphi$ に対し
$-\int f\varphi’ = \int g\varphi$ が成り立つことをいう。差分商は現れない。

検算 5.2：$f(x)=|x|$、$\varphi$ を $(-0.55,\ 1.05)$ に台を持つ滑らかな山とする（原点を含むが中心ではない）。

観察 5.3　$\mathrm{sgn}$ が $|x|$ の弱微分である。山を原点対称に置くと両辺とも $0$ になり、何も判定できない。だから台をずらした。誤った候補が $0.355$ を返すことが、この検算が実際に区別している証拠である。

観察 5.4　$|x|$ は $x=0$ で差分商の極限を持たないのに、弱微分は持つ。問いを点の値から積分の相手へ移したからである。論文178 が「値から作用へ」と書いたのと同じ移動である。

6. 芯：関数ではない導関数

検算 6.1：カントール階段の超関数微分を測る。定義により $\langle c’,\varphi\rangle = -\int c\,\varphi’$ である。右辺を数値で求め、段 $n$ のカントール測度での $\int\varphi$ と比べる。

観察 6.2　台の長さは $0$ へ行くのに、積分は$0.2373579604737711$ に居座る。質量は測度零の集合の上に載っている。したがって密度は存在せず、この導関数はどこでも関数ではない。第4節で「導関数は $0$」と言えたのは、各点の値という意味に限ったときだけである。

検算 6.3（本稿で生じたずれ）：最初、左辺を $[0,1]$ の上だけで積分したところ $0.2370988$ となり、第4桁で合わなかった。

観察 6.4　ずれはちょうど $\varphi(1)$ であった。試験関数の台が $1.05$ まで伸びているのに、$c$ を $[0,1]$ で切っていた。つまり$c$ を外側でどう延長するかを宣言していなかった。記号 $\langle c’,\varphi\rangle$ はそのことを何も言っていない。これが超関数微分の柵である：台が定義域の中にあるか、延長を宣言してあるか。

7. 定数を消さない微分

検算 7.1：$1/2$ 階の微分を、定数関数 $f\equiv1$ に当てる。

観察 7.2　リーマン＝リウヴィルでは定数の微分が $0$ でない。しかも $x\to0$ で発散する。カプトでは $0$ である。同じ「$1/2$ 階微分」という言い方が、正反対の答を返す。

検算 7.3：$f(x)=1+x$ で、$x=1$ における両者を求積で確かめる。

観察 7.4　差は $f(0)\,x^{-1/2}/\Gamma(1/2)$ にちょうど一致する。分離子は初期値をどう扱うかである。リーマン＝リウヴィルは積分してから微分し、カプトは微分してから積分する。順序を入れ替えただけで、定数が消えるか残るかが変わる。

8. 分離子と柵

観察 8.1 （点呼）　

観察 8.2 （分離子）　六つを分けているのは何に対して微分と言っているかである。点の値に対してか、方向に対してか、測度に対してか、試験関数に対してか、積分核に対してか。記号 $f’$ はそのどれとも書いていない。

観察 8.3 （柵）　柵は三つある。第一に、近づき方、直線だけか、曲線も許すか（第2節）。第二に、捨ててよい集合、測度零を捨てると基本定理が壊れる（第4節）。第三に、試験関数の台、定義域の外にはみ出すなら、延長を宣言しなければならない（第6節）。三つとも、記法には書かれていない。

観察 8.4　六つのうち二つ（弱微分と超関数微分）は、差分商をまったく取らない。それらは極限の定義ではなく、部分積分の要求である。だから「微分可能でない関数の微分」という言い方が矛盾なく成り立つ。論文16 の言い方を借りれば、同じ記号が定義と要求の両方を務めている。

9. 点呼と結び

本稿が測ったことを並べる。

1. 全方向に微分係数 $0$、それでも不連続（検算2.1・2.2）：曲線上で $0.5$。
2. 差分商が暴れる（検算3.1）：$19.77$ から $12914.82$ まで、符号ごと。
3. 傾き $0$ が $3000/3000$、上昇は $1$（検算4.1）。
4. 弱微分は極限を取らずに存在する（検算5.2）：両辺 $0.177772705925436369$。
5. 超関数微分は関数でない（検算6.1）：台の長さ $2.58\times10^{-4}$、積分は $0.2373579604737$。
6. 検算のずれ $2.5916\times10^{-4}$ は $\varphi(1)$ であった（検算6.3）。
7. 分数階は定数を消さない（検算7.1）：$0.564189583548$ 対 $0$。

結び：論文178 は、階段関数に微分を与えたあとで「どの意味で微分と言っているかの問題である」と書いて止まった。本稿はその先を数えた。「微分できる」は六つの別の主張であり、そのうち二つは差分商をまったく取らない。全方向に導関数があっても全微分は無く、至る所連続でもどこでも微分できず、ほとんど至る所で傾き $0$ の関数がちょうど $1$ だけ上がり、その導関数は関数ですらない。そして $1/2$ 階の微分は二つあって、定数について正反対の答を返す。六つを分けているのは何に対して微分と言っているかであり、記号 $f’$ はそのどれも書いていない。本稿でいちばん学んだのは、自分の検算が第4桁で合わなかったときである。ずれは丸め誤差ではなく、試験関数の台が定義域からはみ出していたことであった。$\langle c’,\varphi\rangle$ という記法は、台がどこまで伸びているかを言っていない。柵は、いつも記法の外にある。

参考文献

1. Weierstrass, K. (1895). Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments. In: Mathematische Werke, Bd. 2. Berlin: Mayer und Müller.
2. du Bois-Reymond, P. (1875). Versuch einer Classification der willkürlichen Functionen reeller Argumente. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 79.
3. Lebesgue, H. (1904). Leçons sur l’intégration et la recherche des fonctions primitives. Paris: Gauthier-Villars.
4. Rademacher, H. (1919). Über partielle und totale Differenzierbarkeit von Funktionen mehrerer Variabeln. Mathematische Annalen, 79.
5. Gâteaux, R. (1919). Fonctions d’une infinité de variables indépendantes. Bulletin de la Société Mathématique de France, 47.
6. Sobolev, S. L. (1938). Sur un théorème d’analyse fonctionnelle. Matematicheskii Sbornik.
7. Schwartz, L. (1950–1951). Théorie des distributions. Paris: Hermann.
8. Caputo, M. (1967). Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent, II. Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society, 13.
9. Podlubny, I. (1999). Fractional Differential Equations. San Diego: Academic Press.
10. 山岸勇輝 (2026). 等号にも別根がある [論文16]. Zenodo. 10.5281/zenodo.21600471
11. 山岸勇輝 (2026). 量化子の順序が、中身のすべてである [論文177]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22098103
12. 山岸勇輝 (2026). デルタは関数ではなく、写像である [論文178]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22098261
13. 山岸勇輝 (2026). 「収束する」は四つの別の主張であり、分けているのは何を捨てることを許すかである [論文197]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22107590
14. 山岸勇輝 (2026). 証明を落とした本から学ぶと、等号の身分も一緒に落ちる [論文232]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22127528

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「「微分できる」は六つあり、そのうち二つは極限を取らない」［論文233］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22127806

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  author = {Yamagishi, Yuuki},
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  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/233},
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