Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

要旨

角度が一致すれば、同じ機構が働いていると思われがちである。本稿が示すのは、$19.471221$ 度が二つの別々の理由から出ることである。片方は速度に依らず、片方は $M=3$ でだけその値を取る。新しい定理も法則も主張しない。

第一に、船の波の半角は $\arcsin(1/3)=\mathbf{19.471221}$ 度である（第2節）。

第二に、その式に速度が入っていない。$\arcsin(1/3)$ は定数である（第2節）。

第三に、根拠は位相速度が群速度のちょうど $\mathbf{2}$ 倍であることで、三つの波数で確かめた（第2節）。

第四に、マッハ角は速度に依り、$M=1.5$ で $41.810315$ 度、$M=5$ で $11.536959$ 度である（第3節）。

第五に、これが本稿の芯である。$M=3$ のマッハ角が $\mathbf{19.471220634}$ 度で、船の波の半角と差 $\mathbf{0.000\times10^{0}}$ rad で一致する（第3節）。

第六に、分離子は「定数か、変数の一点か」である（第4節）。

キーワード：ケルビンの波形角、マッハ角、船の航跡、衝撃波、流体力学。

射程（何を示さないか）

新しい定理も法則も主張しない。ケルビンの波形角も、マッハ角も標準的である。流体力学を作らない。航跡の波形そのもの、粘性、有限深度、船の形は主題ではない。深い水の重力波の分散だけを使う。衝撃波を扱わない。マッハ角は音の伝播から出る幾何として使い、衝撃波の構造や強さには入らない。浅い水を扱わない。浅い水では分散が変わり、半角も変わる。深い水の場合だけを見る。一致に機構を与えない。$M=3$ で一致することに、共通の理由があるとは主張しない。数が同じであることを示すだけである。既刊との関係：論文485 はミッチェルの半径が当たっていた理由が違うと示した。あちらは同じ式が二つの導出から出て、隣の量で切れた。こちらは同じ数が二つの根から出て、速度を動かすと切れる。論文300 は同根か別根かが判定できると示した。数値の一致だけでは同根と見なさないという基準の、もう一つの実例である。論文491 は古典のドップラーが二つの式だと示した。どちらも、波の速度が何に依るかで答が割れる場合である。論文481 は分離子が無いと反証の行き先が決まらないと示した。本稿はその分離子を一本書く。加えたのは、半角を $19.471221$ 度と出したこと、位相速度と群速度の比を三つの波数で $2.000000000$ と確かめたこと、マッハ角が速度で動くことを四つの値で示したこと、$M=3$ で差 $0.000\times10^{0}$ rad の一致を出したこと、分離子を定数と変数の一点に置いたことである。

1. 記法と問い

設定：深い水を船が進むと、航跡が扇形に開く。その半角は

$$\theta_{K}=\arcsin\frac{1}{3}$$

である。一方、超音速で進む物体が作る円錐の半角は

$$\theta_{M}=\arcsin\frac{1}{M}$$

で、$M$ はマッハ数である。式の形は同じだが、片方には速度が入り、片方には入らない。以下、二つを並べる。

観察 1.1　角度が一致すれば、同じ機構が働いていると思われがちである。同じ数、同じ理由から出たのだろう、という像である。

観察 1.2　だが片方は定数で、片方は変数である。$\arcsin(1/3)$ と $\arcsin(1/M)$、一致するのは $M=3$ のときだけである。

問い：一致は何を意味するのか。

2. 船の波の角度に、速度が入っていない

計算 2.1：半角を出す。

$$\theta_{K}=\arcsin\frac{1}{3}=\mathbf{0.339836909}\ \text{rad}=\mathbf{19.471221}\ \text{度}$$

観察 2.2　既知の値と合う。$19.471221$ 度、よく引かれる $19.47$ 度と一致する。

観察 2.3　式に速度が入っていない。$\arcsin(1/3)$、手漕ぎのボートでも大型船でも、同じ角度で開く。

計算 2.4：深い水の重力波で、位相速度と群速度の比を三つの波数で出す。

観察 2.5　比が三つとも $2$ である。$2.000000000$、末尾の $2$ は数値微分の刻みによるもので、波数に依らない。

観察 2.6　その $2$ が $1/3$ を生む。$\sin\theta_{K}=0.333333333333333$ 対 $1/3=0.333333333333333$、分散関係が $\omega=\sqrt{gk}$ という形をしていることだけから出る。

観察 2.7　だから速度が消えるのは偶然ではない。分散が $\sqrt{k}$ だから、速度は「どの波数が航跡に残るか」を決めるが、開き方は決めない。

3. マッハ角は速度に依る

計算 3.1：マッハ角を四つの速度で出す。

観察 3.2　速度で大きく動く。$30.0000$ 度から $11.5370$ 度へ、速いほど鋭くなる。

観察 3.3　$M=3$ でちょうど船の波の半角になる。$19.471220634$ 度 対 $19.471220634$ 度、差 $\mathbf{0.000\times10^{0}}$ rad、丸めの範囲ですらなく、$\arcsin(1/3)$ という同じ式だからである。

観察 3.4　それでも片方だけが速度に依る。マッハ角は $0.1838$ rad 動き、船の波の半角は動かない。一致は $M=3$ の一点でだけ起きる。

観察 3.5　支えている物理が違う。音は分散しない波、水面の重力波は分散する波、前者では信号が一つの速さで進み、後者では波数ごとに速さが違う。

観察 3.6　$1/3$ の出どころも違う。マッハでは $1/M$ という速度の比、船の波では群速度と位相速度の比 $2$ から出る $1/3$、どちらも $\arcsin$ の中身だが、中身の由来が別である。

4. 分離子

分離子：角度が定数か、変数の一点か。

観察 4.1　定数なら、速度を動かしても値が変わらない。船の波、同じ角度が、どの速さでも出る。

観察 4.2　変数の一点なら、動かせば離れる。マッハ角、$M$ を $3$ から外すと、たちまち別の値になる。

観察 4.3　二つは論文300 の基準で別根である。どちらも $\arcsin(1/3)=19.471221$ 度、一方は分散する波の性質、一方は分散しない波の幾何で、支えている物理に共通部分が無い。

観察 4.4　速度を動かすことが、判定の操作になっている。動けば変数の一点、動かなければ定数、一点だけを見ていては見分けられない。

観察 4.5　論文485 と同じ形である。ミッチェルの半径は当たっていたが、隣の量で切れた。あちらは同じ式が二つの導出から出て、光の曲がりで切れた。こちらは同じ数が二つの根から出て、速度を動かすと切れる。

観察 4.6　これは論文481 でいう分離子の一本である。「同じ角度が出たのだから同じ現象だ」という主張が問われたとき、測り間違えたのか、一点でだけ一致していたのかで、直す先が違う。

観察 4.7　正直に言えば、一致に機構があるとは示していない。$M=3$ で合うのは、$\arcsin$ の中身がどちらも $1/3$ になるからである。なぜ水の波の側が $1/3$ を選び、音の側で $M=3$ がそれに当たるのかに、共通の理由を見つけてはいない。示したのは、一致が一点だけで起きるということである。

5. 点呼と結び

1. 半角 $19.471221$ 度（計算 2.1）：既知と一致。
2. 式に速度が入らない（観察 2.3）：どの船でも同じ。
3. 位相速度が群速度の $2$ 倍（計算 2.4）：三つの波数で。
4. その $2$ が $1/3$ を生む（観察 2.6）：分散が $\sqrt{k}$ だから。
5. マッハ角は $41.81$ から $11.54$ 度（計算 3.1）：速度で動く。
6. $M=3$ で差 $0.000\times10^{0}$ rad（観察 3.3）：本稿の芯。
7. それでも片方だけが動く（観察 3.4）：$0.1838$ rad。
8. 支えている物理が違う（観察 3.5）：分散するかしないか。
9. 分離子は定数か一点か（観察 4.3）：論文300 の基準で別根。
10. 一致に機構は与えていない（観察 4.7）：一点だけで起きる。

結び：角度が一致すれば、同じ機構が働いていると思われがちである。同じ数なのだから同じ理由から出たのだろう、という像である。だが片方は定数で、片方は変数である。$\arcsin(1/3)$ と $\arcsin(1/M)$ が一致するのは $M=3$ のときだけである。船の波の角度に、速度が入っていない。半角は $\arcsin(1/3)=\mathbf{0.339836909}$ rad、すなわち $\mathbf{19.471221}$ 度で、よく引かれる $19.47$ 度と一致する。式に速度が入っておらず、手漕ぎのボートでも大型船でも同じ角度で開く。根拠は分散にあり、深い水の重力波では位相速度が群速度のちょうど $\mathbf{2}$ 倍で、$k=0.5$、$2.0$、$10.0$ のいずれでも $2.000000000$ である。その $2$ から $\sin\theta_{K}=0.333333333333333$ が出て、$1/3$ と一致する。分散関係が $\omega=\sqrt{gk}$ という形をしていることだけから出る。だから速度が消えるのは偶然ではない。速度は「どの波数が航跡に残るか」を決めるが、開き方は決めない。マッハ角は速度に依る。$M=1.5$ で $41.810315$ 度、$2.0$ で $30.000000$ 度、$3.0$ で $\mathbf{19.471221}$ 度、$5.0$ で $11.536959$ 度と、速いほど鋭くなる。そして $M=3$ でちょうど船の波の半角になる。$19.471220634$ 度 対 $19.471220634$ 度、差は $\mathbf{0.000\times10^{0}}$ rad で、丸めの範囲ですらない。$\arcsin(1/3)$ という同じ式だからである。それでも片方だけが速度に依る。マッハ角は $0.1838$ rad 動き、船の波の半角は動かない。支えている物理が違い、音は分散しない波、水面の重力波は分散する波で、前者では信号が一つの速さで進み、後者では波数ごとに速さが違う。$1/3$ の出どころも違う。マッハでは $1/M$ という速度の比、船の波では群速度と位相速度の比 $2$ から出る $1/3$ である。分けているものは一つ、角度が定数か、変数の一点か。定数なら速度を動かしても値が変わらず、同じ角度がどの速さでも出る。変数の一点なら動かせば離れ、$M$ を $3$ から外すとたちまち別の値になる。二つは論文300 の基準で別根であり、どちらも $\arcsin(1/3)=19.471221$ 度だが、一方は分散する波の性質、一方は分散しない波の幾何で、支えている物理に共通部分が無い。速度を動かすことが判定の操作になっており、一点だけを見ていては見分けられない。論文485 と同じ形で、あちらは同じ式が二つの導出から出て光の曲がりで切れた。こちらは同じ数が二つの根から出て、速度を動かすと切れる。これは論文481 でいう分離子の一本で、「同じ角度が出たのだから同じ現象だ」という主張が問われたとき、測り間違えたのか一点でだけ一致していたのかで直す先が違う。正直に言えば、一致に機構があるとは示していない。$M=3$ で合うのは $\arcsin$ の中身がどちらも $1/3$ になるからで、なぜ水の波の側が $1/3$ を選び、音の側で $M=3$ がそれに当たるのかに共通の理由を見つけてはいない。示したのは、一致が一点だけで起きるということである。

参考文献

1. Lighthill, J. (1978). Waves in Fluids. Cambridge University Press.
2. Mach, E., & Salcher, P. (1887). Photographische Fixirung der durch Projectile in der Luft eingeleiteten Vorgänge. Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften Wien.
3. Thomson, W. (1887). On Ship Waves. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers.
4. 山岸勇輝 (2026). 『三百本目の点呼、同根か別根かは、判定できる』[論文300]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22171914
5. 山岸勇輝 (2026). 『「法則が破れた」は、どの仮定へも落とせる』[論文481]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22733927
6. 山岸勇輝 (2026). 『ミッチェルの半径は当たっていたが、当たっていた理由は違う』[論文485]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22759928
7. 山岸勇輝 (2026). 『古典のドップラーは二つの式であり、相対論はその幾何平均である』[論文491]. Zenodo. 10.5281/zenodo.22760067

作成にあたって：本稿の着想と内容は、著者自身の考察に基づくものです。文章の構成整理や英訳、数式の確認には AI（大規模言語モデル）の助力を得ました。最終的な内容の解釈や誤りがあれば、それらはすべて著者の責に帰します。お気づきの点があれば、ご教示いただければ幸いです。

書誌

山岸勇輝（2026）「同じ 19.471221 度が、二つの別根から出る」［論文515］. Zenodo.
DOI: 10.5281/zenodo.22862297

@misc{yamagishi2026yoi515,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {The Same 19.471221 Degrees Arises from Two Distinct Roots},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/515},
  doi = {10.5281/zenodo.22862297},
  note = {Preprint, edition 1}
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