Yamagishi Complexity Torus Lab | 山岸勇輝ラボ

論文25 の記録のページです。住所（YOI）は https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/25 で、論文の本文は下の PDF にあります。ファイルは自分で用意した置き場所（https://yamagishi.sakuraweb.com）に置き、日付の証拠（.ots）を添えています。Zenodo でも公開しています（DOI：10.5281/zenodo.22090297）。

本文はサイトの記事でも読めます：【論文25】「解けない」は三つの別根を持つ

@misc{yamagishi2026yoi25,
  author = {Yamagishi, Yuuki},
  title = {“Unsolvable” Has Three Distinct Roots},
  year = {2026},
  howpublished = {YOI: https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/25},
  doi = {10.5281/zenodo.22090297},
  note = {Preprint, edition 1}
}

日付の証拠（OpenTimestamps）

2026年10月1日に、2 本の PDF の指紋（SHA-256）をまとめて OpenTimestamps に送り、ビットコインのブロック 969387・969388・969398・969440 に記録されました（2026年10月01日 12:18（日本時間））。この .ots があれば、PDF がその時点で存在したことを、このサイトや運営者を信用しなくても、誰でも確かめられます。

書誌

要旨

「解けない」という一語が、少なくとも三つの別のことを指している。本稿はその三つに住所を書き、分離子が「何を道具として許したか」であることを示す。新しい数学定理は主張しない。

第一に、障害は導来列が止まることである。$S_3,S_4$ の導来列はそれぞれ $6\to3\to1$、$24\to12\to4\to1$ と $1$ に達するが、$S_5$ は $120\to60$ で止まる。止まった先は位数 $60$ の単純非可換群 $A_5$ である（本稿で計算）（第2節）。

第二に、ブレーキ。「解けない」のに、根は計算できる。$x^5-x-1$ は既約でガロア群は $S_5$、したがって根号による表示を持たない。それでも実根は $1.16730397826141868425604589985$ と、望むだけの桁で求まる（本稿で40桁精度により計算）（第3節）。

第三に、もう一つのブレーキ。「五次方程式は解けない」は、そのままでは誤りである。$x^5-2$ の根は $2^{1/5}$ をはじめすべて根号で書ける。正しくは「一般の五次方程式に、根号による一般公式は無い」である。一般についての言明と、個別についての言明は別物である（第4節）。

第四に、道具箱を替えると障害も替わる。定規とコンパスでは、作図可能数の拡大次数が $2$ の冪でなければならない。$2\cos20^\circ$ は $t^3-3t-1=0$ を満たし次数 $3$ だから角の三等分はできない。一方、正十七角形はできる（$\varphi(17)=16=2^4$、ガウス1796）（第5節）。

第五に、第三の道具箱は「有限の手続き」である。ヒルベルト第10問題に対しマチャセビッチ（1970）が与えた答は「そのような算法は存在しない」であった。ここでの「解けない」は、公式が無いのでも作図できないのでもなく、手続きそのものが無いという意味である（第6節）。

Abstract

One word, “unsolvable”, names at least three different things. This paper writes their addresses and shows that the separator is which tools were allowed. NO NEW MATHEMATICAL THEOREM IS CLAIMED.

First, the obstruction is a derived series that stalls. The derived series of $S_3$ and $S_4$ reach $1$ as $6\to3\to1$ and $24\to12\to4\to1$, while that of $S_5$ stalls at $120\to60$、on $A_5$, a simple non-abelian group of order $60$ (computed here) (Section 2).

Second, a brake. Unsolvable, and yet the root is computable. $x^5-x-1$ is irreducible with Galois group $S_5$, so it has no expression in radicals. Its real root is nonetheless $1.16730397826141868425604589985$, to as many digits as one asks (computed here at forty-digit precision) (Section 3).

Third, another brake. “The quintic cannot be solved” is false as stated. The roots of $x^5-2$ are all expressible in radicals, beginning with $2^{1/5}$. What is true is that there is no general formula in radicals for the general quintic、a statement about the general case and one about a particular case are different claims (Section 4).

Fourth, change the toolbox and the obstruction changes. With straightedge and compass a constructible number must have degree a power of $2$. Since $2\cos20^\circ$ satisfies $t^3-3t-1=0$ and so has degree $3$, the angle cannot be trisected. The regular 17-gon, by contrast, can be constructed ($\varphi(17)=16=2^4$; Gauss 1796) (Section 5).

Fifth, a third toolbox: a finite procedure. To Hilbert’s tenth problem Matiyasevich (1970) answered that no such algorithm exists. Here “unsolvable” means neither that a formula is missing nor that a construction is impossible, but that there is no procedure at all (Section 6).

版の記録

ここの PDF（倉庫の v1）は第1版（2026年8月）の原稿から作りました。ファイルは版ごとに分けて置いています（/yoi/25/v1/ の下）。中身を直すときは、このファイルを書き換えず、新しい版を足します（住所 https://www.yamagishiyuuki.com/yoi/25 はいつも最新の版を指します）。Zenodo の記録とは、Zenodo に上げる前の改訂のぶんだけ違うことがあります。

YOI の一覧へ